Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)={\sin }^2\frac{x}{2}$ và $F(0)=0$. Tính $F\left(\frac{\pi }{4}\right)$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Bạch Đằng sóng dậy một trời đông,
Cọc ngầm dựng thẳng khóa muôn dòng.
Nam Hán thuyền tan theo triều xuống,
Toàn quân đại thắng giữ non sông.

Chiến thắng Bạch Đằng năm 938 là đỉnh cao nghệ thuật quân sự, khi Ngô Quyền đã đoán định chính xác nhịp lên, xuống của thủy triều để như thủy quân Nam Hán vào sâu bên trong, rồi phản công đúng thời khắc nước rút, qua đó đánh đuổi được giặc xâm lăng ra khỏi bờ cõi. Để mô hình hóa chiến thuật “canh con nước” ấy dưới lăng kính Giải tích, ta xét bài toán sau:



Xét một bãi cọc được đóng sâu xuống bùn theo phương thẳng đứng; chiều cao mỗi cọc (tính từ mặt bùn đến đầu cọc) là 2,4 m.

Gọi $h(t)$ (tính bằng mét) là độ sâu mực nước tại bãi cọc (tính từ mặt bùn đến mặt nước) ở thời điểm $t$ giờ, trong đó $t=0$ ứng với thời điểm 09:00 trong ngày với $0\le t\le 4$. Thời gian này, mực nước rút nên $h(t)$ giảm theo quy luật $h^{\prime }(t)=-0,25t-0,05$ (mét/giờ). Biết rằng vào lúc 09:00, mực nước tại bãi cọc cao hơn mặt bùn 3,3 m (tức là $h(0)=3,3$ (m)).

Khi Ngô Quyền phát lệnh phản công, ông biết rằng thuyền địch sẽ quay đầu tháo chạy và mất 12 phút để tới bãi cọc. Ngô Quyền muốn đúng lúc thuyền địch tới bãi cọc thì đầu cọc còn chìm dưới mặt nước 0,5 m.

Xét tính đúng sai các mệnh đề sau:

Một tấm ván gỗ chỉ được hỗ trợ ở hai đầu $O$ và $P$, cách nhau $4$ m. Tấm ván võng xuống dưới do trọng lượng của nó tạo thành một đường cong. Xét trên hệ trục $Oxy$ như hình vẽ dưới, đơn vị mỗi trục là mét, đường cong trong hình vẽ có phương trình $y=f(x)$.



Người ta chứng minh được $f^{\prime \prime }(x)=\frac{1}{100}\left(2x-\frac{x^2}{2}\right)$ với $0\le x\le 4$.

Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)=2x+1$, biết $F(1)=0$.

Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)=\frac{x-1}{x^2}$ thỏa $F(1)=0$.

Cho hàm số $f(x)=\cos x+2x$ và $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ thỏa mãn $F(0)=1$.

Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=6x^2+\frac{2}{x}$ trên khoảng $(0;+\infty )$ thỏa mãn $F(1)=5$. Tính giá trị của $F(e)$.