Cho hàm số $f(x)=\cos x+2x$ và $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ thỏa mãn $F(0)=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3 (mã đề 1204), đáp án nguồn: DSDD — khớp với kết quả giải độc lập. a) Đúng: $\int f(x)\mathrm{d}x=\int (\cos x+2x)\mathrm{d}x=\sin x+x^2+C$. b) Sai: $F(x)=\sin x+x^2+C$; $F(0)=1\Rightarrow C=1$, nên $F(\pi )=\sin \pi +{\pi }^2+1={\pi }^2+1\ne {\pi }^2+2$. c) Đúng: $F^{\prime }(x)=f(x)$ nên $F^{\prime }(0)=f(0)=\cos 0+0=1$. d) Đúng: với $x\in [0,5;\pi ]$ ta có $\cos x\ge -1$ nên $f(x)=\cos x+2x\ge 2x-1\ge 0$; với $x\in [0;0,5)$ thì $\cos x>0$ và $2x\ge 0$ nên $f(x)>0$. Vậy $f(x)\ge 0$ trên $[0;\pi ]$, do đó $S={\int }_0^{\pi }(\cos x+2x)\mathrm{d}x={\left[\sin x+x^2\right]}_0^{\pi }={\pi }^2$.
a) Nguyên hàm tổng quát của $f(x)=\cos x+2x$ là $\sin x+x^2+C$, nên phát biểu đúng.
b) $F(x)=\sin x+x^2+C$; từ $F(0)=1$ suy ra $C=1$, do đó $F(\pi )={\pi }^2+1\ne {\pi }^2+2$, phát biểu sai.
c) $F^{\prime }(x)=f(x)$ nên $F^{\prime }(0)=f(0)=\cos 0+0=1$, phát biểu đúng.
d) Với $x\in [0;\pi ]$: nếu $x\in [0,5;\pi ]$ thì $f(x)=\cos x+2x\ge 2x-1\ge 0$; nếu $x\in [0;0,5)$ thì $\cos x>0$ và $2x\ge 0$ nên $f(x)>0$. Vậy $f(x)\ge 0$ trên $[0;\pi ]$, nên diện tích $S={\int }_0^{\pi }(\cos x+2x)\mathrm{d}x=\sin x+x^2{|}_0^{\pi }={\pi }^2$, phát biểu đúng.