Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $f^{\prime }(x)=e^{2x}+2,\forall x\in \mathbb{R}$.
a) $\int f^{\prime }(x)dx=2e^{2x}+2x+C$.
b) Khi $f(0)=1$ thì $f(x)=\frac{1}{2}{e}^{2x}+2x+2$.
c) $\underset{0}{\overset{2}{\int }}f(x)dx=\frac{1}{4}{e}^2+\frac{3}{2}$.
d) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các đường $y=f^{\prime }(x),y=x^2+e^{2x}+1,x=0,x=2$ bằng $\frac{2}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=e^{2x}+2$.
a) $\int f^{\prime }(x)dx=\int (e^{2x}+2)dx=\frac{1}{2}{e}^{2x}+2x+C$, không phải $2e^{2x}+2x+C$ → Sai.
b) $f(x)=\frac{1}{2}{e}^{2x}+2x+C$; với $f(0)=1$ thì $\frac{1}{2}+C=1\Rightarrow C=\frac{1}{2}$, nên $f(x)=\frac{1}{2}{e}^{2x}+2x+\frac{1}{2}$, không phải $+2$ → Sai.
c) ${\int }_0^{2}f(x)dx={\left[\frac{1}{4}{e}^{2x}+x^2+\frac{1}{2}x\right]}_0^2=\frac{1}{4}{e}^4+4+1-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}{e}^4+\frac{19}{4}\ne \frac{1}{4}{e}^2+\frac{3}{2}$ → Sai.
d) Hiệu hai hàm: $(e^{2x}+2)-(x^2+e^{2x}+1)=1-x^2$. Diện tích $S={\int }_0^2|1-x^2|dx={\int }_0^1(1-x^2)dx+{\int }_1^2(x^2-1)dx=\frac{2}{3}+\frac{2}{3}=\frac{4}{3}\ne \frac{2}{3}$ → Sai. Cả bốn ý đều Sai, khớp đáp án mã 102 (SSSS).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm $\int (e^{2x}+2)dx=\frac{1}{2}{e}^{2x}+2x+C$, không phải $2e^{2x}+2x+C$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Với $f(0)=1$ ta được $C=\frac{1}{2}$, nên $f(x)=\frac{1}{2}{e}^{2x}+2x+\frac{1}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^{2}f(x)dx=\frac{1}{4}{e}^4+\frac{19}{4}$, khác $\frac{1}{4}{e}^2+\frac{3}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$S={\int }_0^2|1-x^2|dx=\frac{4}{3}$, không phải $\frac{2}{3}$.