Câu 79Học KỳChuyên đề: Lập phương trình mặt phẳng • Lớp 12Phương trình tâm và bán kính mặt cầuKhoảng cách điểm đến mặt bằng tọa độVận dụng#secondary:M12.G07.SPHERE.L3.EQUATION#secondary:M12.G02.PLANE_EQUATION.L3.DISTANCE
Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm , đường thẳng và mặt phẳng . Khi đó
Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm , đường thẳng và mặt phẳng . Khi đó
Các mệnh đề Đúng / Sai:
a)
Mặt phẳng chứa điểm và đường thẳng có một véc tơ pháp tuyến là
b)
Mặt cầu có tâm và bán kính bằng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng có phương trình là
c)
Gọi lần lượt là giao điểm của mặt phẳng với các trục tọa độ . Khi đó trực tâm của tam giác là điểm thỏa mãn .
d)
Đường thẳng có một véc tơ chỉ phương là
Đáp án chính thức: a:Đ,b:S,c:Đ,d:Đ
Hướng dẫn giải chi tiết
(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng. Đường thẳng Δ có véc tơ chỉ phương u1=(3;2;-1) và đi qua điểm M(2;-1;7). Véc tơ MI=(0;2;-7). Pháp tuyến (Q): n = u1 × MI = (2·(-7)-(-1)·2; (-1)·0-3·(-7); 3·2-2·0) = (-12;21;6) = -3(4;-7;2). Vậy n(4;-7;2) là một pháp tuyến của (Q).
b) Sai. Khoảng cách từ I(2;1;0) đến (P): d = |2+1-0+12|/√(1+1+25) = 15/(3√3) = 5/√3, nên R² = 25/3. Mặt cầu tâm I có phương trình (x-2)² + (y-1)² + z² = 25/3, không phải (x-1)² + (y-1)² + z² = 25/3.
c) Đúng. Giao điểm với các trục: A(-12;0;0), B(0;-12;0), C(0;0;12/5). Pháp tuyến (P): n=(1;1;-5). Đường cao từ A có phương hướng n × BC với BC=(0;12;12/5): (72/5;-12/5;12) ∼ (6;-1;5), nên đường cao: (-12+6s; -s; 5s). Đường cao từ B có phương hướng n × AC với AC=(12;0;12/5): (12/5;-312/5;-12) ∼ (1;-26;-5), nên đường cao: (t; -12-26t; -5t). Giải hệ: 5s=-5t ⇒ s=-t; -12+6s=t ⇒ -12-6t=t ⇒ 27t=-12 ⇒ t=-4/9. Vậy H=(-4/9; -4/9; 20/9) (thỏa mãn cả đường cao từ A: s=4/9 cho cùng điểm). Khi đó a·b·c = (-4/9)(-4/9)(20/9) = 320/729.
d) Đúng. Δ có véc tơ chỉ phương (3;2;-1), nên u(-3;-2;1) = -(3;2;-1) cũng là một véc tơ chỉ phương của Δ.
a) (AI giải đề cho tôi)
n = (3;2;-1) × (0;2;-7) = (-12;21;6) = -3(4;-7;2), nên n(4;-7;2) là một pháp tuyến của (Q).
b) (AI giải đề cho tôi)
d(I,(P)) = 15/√27 = 5/√3 nên R²=25/3, nhưng tâm là I(2;1;0) nên phương trình đúng là (x-2)²+(y-1)²+z²=25/3.
c) (AI giải đề cho tôi)
A(-12;0;0), B(0;-12;0), C(0;0;12/5). Giải hệ ba đường cao được H=(-4/9;-4/9;20/9), nên a·b·c = 320/729.
d) (AI giải đề cho tôi)
u(-3;-2;1) = -(3;2;-1) cùng phương với véc tơ chỉ phương của Δ.
a) Đúng. Đường thẳng Δ có véc tơ chỉ phương u1=(3;2;-1) và đi qua điểm M(2;-1;7). Véc tơ MI=(0;2;-7). Pháp tuyến (Q): n = u1 × MI = (2·(-7)-(-1)·2; (-1)·0-3·(-7); 3·2-2·0) = (-12;21;6) = -3(4;-7;2). Vậy n(4;-7;2) là một pháp tuyến của (Q).
b) Sai. Khoảng cách từ I(2;1;0) đến (P): d = |2+1-0+12|/√(1+1+25) = 15/(3√3) = 5/√3, nên R² = 25/3. Mặt cầu tâm I có phương trình (x-2)² + (y-1)² + z² = 25/3, không phải (x-1)² + (y-1)² + z² = 25/3.
c) Đúng. Giao điểm với các trục: A(-12;0;0), B(0;-12;0), C(0;0;12/5). Pháp tuyến (P): n=(1;1;-5). Đường cao từ A có phương hướng n × BC với BC=(0;12;12/5): (72/5;-12/5;12) ∼ (6;-1;5), nên đường cao: (-12+6s; -s; 5s). Đường cao từ B có phương hướng n × AC với AC=(12;0;12/5): (12/5;-312/5;-12) ∼ (1;-26;-5), nên đường cao: (t; -12-26t; -5t). Giải hệ: 5s=-5t ⇒ s=-t; -12+6s=t ⇒ -12-6t=t ⇒ 27t=-12 ⇒ t=-4/9. Vậy H=(-4/9; -4/9; 20/9) (thỏa mãn cả đường cao từ A: s=4/9 cho cùng điểm). Khi đó a·b·c = (-4/9)(-4/9)(20/9) = 320/729.
d) Đúng. Δ có véc tơ chỉ phương (3;2;-1), nên u(-3;-2;1) = -(3;2;-1) cũng là một véc tơ chỉ phương của Δ.
a) (AI giải đề cho tôi)
n = (3;2;-1) × (0;2;-7) = (-12;21;6) = -3(4;-7;2), nên n(4;-7;2) là một pháp tuyến của (Q).
b) (AI giải đề cho tôi)
d(I,(P)) = 15/√27 = 5/√3 nên R²=25/3, nhưng tâm là I(2;1;0) nên phương trình đúng là (x-2)²+(y-1)²+z²=25/3.
c) (AI giải đề cho tôi)
A(-12;0;0), B(0;-12;0), C(0;0;12/5). Giải hệ ba đường cao được H=(-4/9;-4/9;20/9), nên a·b·c = 320/729.
d) (AI giải đề cho tôi)
u(-3;-2;1) = -(3;2;-1) cùng phương với véc tơ chỉ phương của Δ.