Biết ${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}(2\sin x+\cos x)dx=\frac{a+b\sqrt{2}}{2}$. Tính $P=ab$

Cho ${\int }_0^{1}f(x)dx=-3$ và ${\int }_1^{0}g(x)dx=2$, khi đó ${\int }_0^1\left(f(x)+2g(x)\right)dx$ bằng

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị là đường cong và hàm số $y=g(x)$ có đồ thị là đường thẳng. Gọi $S_1$ là diện tích miền phẳng được gạch sọc, $S_2$ là diện tích miền phẳng được tô đậm, $S_1\ne S_2$ *(Hình vẽ)*. Tích phân ${\int }_{-}{2}^4\left(f(x)-g(x)\right)dx$ bằng

Cho ${\int }_0^1\frac{xdx}{(x+3{)}^2}=a+b\ln 3+c\ln 4$ với $a,b,c$ là các số hữu tỉ. Tính giá trị của $a+b+c$.

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn ${\int }_0^{3}x\cdot f^{\prime }(2x-4)dx=8$; $f(2)=2$. Tính $I={\int }_{-2}^{1}f(2x)dx$.

Cho hàm số $f(x)$ liên tục và dương trên $(0;+\infty )$, thỏa mãn $3xf(x)=x^2{f}^{\prime }(x)+2f^2(x),\forall x>0$ và $f(1)=\frac{1}{2}$. Giá trị của tích phân ${\int }_1^2\frac{f(x)}{x^2}dx$ bằng

Cho ${\int }_1^{3}f(x)\mathrm{d}x=4$, giá trị của tích phân ${\int }_1^3[1-2f(x)]\mathrm{d}x$ bằng