Cho ${\int }_1^{3}f(x)\mathrm{d}x=4$, giá trị của tích phân ${\int }_1^3[1-2f(x)]\mathrm{d}x$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn ${\int }_0^{5}f(x)\mathrm{d}x=6$, ${\int }_2^{5}f(x)\mathrm{d}x=2$. Giá trị của biểu thức ${\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x$ bằng

Cho $f(x)$ và $g(x)$ là các hàm số liên tục bất kì trên đoạn $[a;b]$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Biết ${\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}\frac{{\cos }^{2}x+\sin x\cos x+1}{{\cos }^{4}x+\sin x{\cos }^{3}x}dx=a+b\ln 2+c\ln (1+\sqrt{3})$, với $a,b,c$ là các số hữu tỉ. Giá trị của $abc$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(0)=3$ và $f(x)+f(2-x)=x^2-2x+2,\forall x\in \mathbb{R}$. Tích phân ${\int }_0^{2}x{f}^{\prime }(x)dx$ bằng

Sàn của một viện bảo tàng mỹ thuật được lát bằng những viên gạch hoa hình vuông cạnh $40\text{ (cm)}$ như hình bên. Biết rằng người thiết kế đã sử dụng các đường cong có phương trình $4x^2=y^4$ và $4(|x|-1{)}^3=y^2$ để tạo hoa văn cho viên gạch. Diện tích phần được tô đậm gần nhất với giá trị nào dưới đây?
[IMAGE:img_q49_stem]

Cho hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$. Biết $F(1)=-3,F(-2)=12$. Tính $I={\int }_{-2}^{1}f(x)\mathrm{d}x$.