Biết $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{3}}{\int }}\left(2\sin x-\cos x\right)dx=\frac{a+b\sqrt{3}}{2}$. Tính giá trị của biểu thức $P=a^2+b^2$.

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$. Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[a;b]$. Chọn mệnh đề đúng.

Biết ${\int }_1^{3}f(x)\mathrm{d}x=2$ và ${\int }_1^3\left[f(x)-g(x)\right]\mathrm{d}x=-3$. Giá trị ${\int }_1^{3}g(x)\mathrm{d}x$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[1;3]$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục hoành và các đường thẳng $x=1,x=3$ là

Cho $f(x)$, $g(x)$ là hai hàm số liên tục trên đoạn $[0;2]$. Biết ${\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x=5$; ${\int }_0^{2}g(x)\mathrm{d}x=-3$.

Cho hàm số $y=f(x)$. Đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ là đường cong trong hình dưới. Hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ và trục hoành gồm hai phần, phần nằm phía trên trục hoành có diện tích $S_A=4$ và phần nằm phía dưới trục hoành có diện tích $S_B=10$ (tham khảo hình vẽ bên dưới). Gọi S là diện tích của hình phẳng (H).

Nhà bác An có một vườn hoa dạng hình tròn bán kính bằng $6m$. Bác An chia vườn hoa thành các phần như hình vẽ dưới đây và bác định bố trí như sau: Phần diện tích bên trong hình vuông $ABCD$ để trồng hoa. Phần diện tích kéo dài từ bốn cạnh của hình vuông đến đường tròn (phần gạch chéo) dùng để trồng cỏ. Ở bốn góc còn lại, mỗi góc trồng một cây cau voi. Biết $AB=4m$; giá trồng hoa là 200 nghìn đồng/$m^2$; giá trồng cỏ là 100 nghìn đồng/$m^2$; giá mỗi cây cau voi là 500 nghìn đồng. Hỏi số tiền để bác An thực hiện việc trang trí vườn hoa như trên là bao nhiêu (đơn vị là triệu đồng, làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?