(2,0 điểm) a) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, gọi $A,B$ là hai điểm phân biệt thuộc đồ thị của hàm số $y=1+{\log }_3(x-1)$ sao cho $A$ là trung điểm $OB$. Tính độ dài đoạn thẳng $AB$. b) Tìm các số thực dương $a,b,c$ sao cho $a\ne 1$ và thỏa mãn đồng thời các đẳng thức sau: $$b+{\log }_{2}a=0,{\log }_{a}b=\frac{1}{c},{\log }_2\left(\frac{b}{c}\right)=c-b.$$

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2. a) Gọi $A(x_1;y_1)$, $B(x_2;y_2)$ thuộc đồ thị $y=1+{\log }_3(x-1)$ ($x>1$). Vì $A$ là trung điểm của $OB$ với $O(0;0)$ nên $B=2A$, tức $x_2=2x_1$, $y_2=2y_1$.
Ta có hệ:
$$y_1=1+{\log }_3(x_1-1),2y_1=1+{\log }_3(2x_1-1).$$
Trừ theo vế: $y_1={\log }_3(2x_1-1)-{\log }_3(x_1-1)={\log }_3\frac{2x_1-1}{x_1-1}$.
Suy ra $1+{\log }_3(x_1-1)={\log }_3\frac{2x_1-1}{x_1-1}$, tức $3(x_1-1)=\frac{2x_1-1}{x_1-1}$.
Đặt $t=x_1-1>0$: $3t^2=2t+1\iff 3t^2-2t-1=0\iff t=1$ (nhận, vì $t>0$; $t=-\frac{1}{3}$ loại).
Vậy $A(2;1)$, $B(4;2)$ và $AB=\sqrt{(4-2{)}^2+(2-1{)}^2}=\sqrt{5}$.

b) Từ $b+{\log }_{2}a=0$ suy ra $a=2^{-b}$ (thỏa $a>0$, $a\ne 1$ vì $b>0$).
Từ ${\log }_{a}b=\frac{1}{c}$ suy ra $b=a^{1/c}=2^{-b/c}$.
Từ ${\log }_2\frac{b}{c}=c-b$ suy ra $\frac{b}{c}=2^{c-b}$, tức $c=b+{\log }_2\frac{b}{c}$.
Đặt $s=\frac{b}{c}>0$, khi đó $b=2^{-s}$ và $s=2^{c-b}=2^{b(1/s-1)}=2^{2^{-s}(1-s)/s}$.
Thử $s=1$: $b=2^{-1}=\frac{1}{2}$, $c=b=\frac{1}{2}$, khi đó ${\log }_2\frac{b}{c}={\log }_{2}1=0=c-b$ thỏa mãn.
Xét hàm $h(s)=2^{-s}-2^{2^{-s}(1-s)/s}$ trên $(0;+\infty )$: với $0<s<1$ thì $2^{-s}>\frac{1}{2}$ và $2^{2^{-s}(1-s)/s}>1>2^{-s}$ (vì số mũ $2^{-s}(1-s)/s>0$) nên $h(s)<0$; với $s>1$ thì $2^{-s}<\frac{1}{2}<1<2^{2^{-s}(1-s)/s}$ (số mũ dương) nên $h(s)<0$; tại $s=1$, $h(1)=0$. Vậy $s=1$ là nghiệm duy nhất.
Do đó $b=c=\frac{1}{2}$, $a=2^{-1/2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Kiểm tra: $b+{\log }_{2}a=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$; ${\log }_{a}b=\frac{\ln (1/2)}{\ln (2^{-1/2})}=2=\frac{1}{c}$; ${\log }_2\frac{b}{c}=0=c-b$.
Vậy $(a,b,c)=\left(\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: a) $AB=\sqrt{5}$; b) $(a,b,c)=\left(\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$.