1) Cho hàm số $y=\frac{x^2+x+1}{x+1}$ có đồ thị $(C)$. Gọi $A,B$ là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Biết rằng $A,B$ cùng với điểm $C(5;5)$ tạo thành một tam giác. Tính diện tích tam giác $ABC$.
2) Một mô hình đồ chơi được thiết kế gồm hai xe chạy trên các đường ray trong đó có hai đường ray là hai nhánh $(C)$ của đồ thị hàm số $y=\frac{x^2+x+1}{x+1}$. Người ta thiết kế một đường đi ngắn nhất nối giữa hai nhánh đường ray của $(C)$ để xe có thể di chuyển từ nhánh này sang nhánh kia của đường chạy. Tính độ dài đoạn đường nối ngắn nhất đó.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1: $y=\frac{x^2+x+1}{x+1}=x+\frac{1}{x+1}$, TXĐ $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x+1{)}^2}=0\iff x=0$ hoặc $x=-2$. Với $x=0$: $y=1$; với $x=-2$: $y=\frac{4-2+1}{-1}=-3$. Hai điểm cực trị là $A(0;1)$, $B(-2;-3)$. Đường thẳng $AB$ có hệ số góc $\frac{-3-1}{-2-0}=2$, phương trình $y=2x+1$ hay $2x-y+1=0$. Độ dài $AB=\sqrt{(-2{)}^2+(-4{)}^2}=2\sqrt{5}$. Khoảng cách từ $C(5;5)$ đến $AB$: $d=\frac{|2\cdot 5-5+1|}{\sqrt{5}}=\frac{6}{\sqrt{5}}$. Diện tích $S=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{5}\cdot \frac{6}{\sqrt{5}}=6$ (đvdt). Kiểm tra: $C$ không thuộc $AB$ nên tam giác hợp lệ.

Câu 2: Ta có $f(x)+f(-2-x)=-2$ nên $(C)$ có tâm đối xứng $I(-1;-1)$; hai nhánh đối xứng qua $I$. Đoạn nối ngắn nhất giữa hai nhánh đi qua $I$ và vuông góc với $(C)$ tại hai đầu, nên độ dài bằng $2d$ với $d$ là khoảng cách nhỏ nhất từ $I$ đến một nhánh. Lấy $M$ trên nhánh phải, đặt $t=x+1>0$: $M\left(t-1;t-1+\frac{1}{t}\right)$, $\overrightarrow{IM}=\left(t;t+\frac{1}{t}\right)$, $I{M}^2=2t^2+2+\frac{1}{t^2}$. Đặt $g(t)=2t^2+2+\frac{1}{t^2}$, $g^{\prime }(t)=4t-\frac{2}{t^3}=0\iff t^4=\frac{1}{2}\iff t=2^{-1/4}$. Khi đó $t^2=\frac{1}{\sqrt{2}}$, $\frac{1}{t^2}=\sqrt{2}$, $d^2=\sqrt{2}+2+\sqrt{2}=2+2\sqrt{2}$. Vậy độ dài đoạn đường nối ngắn nhất là $2\sqrt{2+2\sqrt{2}}\approx 4,394$.