Cho hàm số $f(x)=\frac{x^2-3x}{x+1}$ có đồ thị là $(C)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vi phân: $f(x)=\frac{x^2-3x}{x+1}=x-4+\frac{4}{x+1}$ (với $x\ne -1$).
a) Từ phân tích trên, tiệm cận xiên là $y=x-4$, không phải $y=x-3$ → sai.
b) $f^{\prime }(x)=1-\frac{4}{(x+1{)}^2}$. Trên $(-1;1)$ thì $f^{\prime }(x)<0$, trên $(1;+\infty )$ thì $f^{\prime }(x)>0$, nên hàm số không đồng biến trên toàn khoảng $(-1;+\infty )$ → sai.
c) Trên đoạn $[-2;3]$, hàm số không xác định tại $x=-1$ và khi $x\to (-1{)}^{-}$ thì $f(x)\to -\infty$; hơn nữa $f(-2)=\frac{4+6}{-1}=-10<-1$. Do đó giá trị nhỏ nhất trên $[-2;3]$ không bằng $-1$ (thực tế hàm không bị chặn dưới) → sai.
d) $f^{\prime }(x)=0\iff (x+1{)}^2=4\iff x=1$ hoặc $x=-3$. Hai điểm cực trị: $(1;f(1))=(1;-1)$ và $(-3;f(-3))=(-3;-9)$ vì $f(-3)=\frac{9+9}{-2}=-9$. Khoảng cách $=\sqrt{(1+3{)}^2+(-1+9{)}^2}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $f(x)=x-4+\frac{4}{x+1}$ nên tiệm cận xiên là $y=x-4$, không phải $y=x-3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=1-\frac{4}{(x+1{)}^2}<0$ trên $(-1;1)$ và $>0$ trên $(1;+\infty )$, nên hàm không đồng biến trên toàn khoảng $(-1;+\infty )$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm không xác định tại $x=-1\in [-2;3]$ và $f(x)\to -\infty$ khi $x\to (-1{)}^{-}$; ngoài ra $f(-2)=-10<-1$, nên GTNN trên đoạn không bằng $-1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Các điểm cực trị $(1;-1)$ và $(-3;-9)$; khoảng cách $=\sqrt{16+64}=4\sqrt{5}$.