Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ đi qua $A(1;-2)$ và vuông góc với đường thẳng $\Delta :3x-2y+1=0$ là:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cosin của góc giữa hai đường thẳng $d_1:a_{1}x+b_{1}y+c_1=0$ và $d_2:a_{2}x+b_{2}y+c_2=0$ bằng

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ tâm $I$ của đường tròn $(C):x^2+y^2-2x+6y+1=0$ là

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai điểm $A(1;3)$ và $B(3;5)$, phương trình của đường tròn đường kính $AB$ là:

Phương trình chính tắc của elip có tiêu cự bằng 6 và đi qua điểm $A(5;0)$ là

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hypebol $(H)$ có phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, $(a;b>0)$ có tiêu cự bằng $2c$. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, tiêu điểm của parabol $y^2=24x$ là:

Cho biểu thức $f(x)=x^2-(m-1)x+m+2$, với $m$ là tham số thực.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $(C):x^2+y^2+2x-6y+6=0$ có tâm $I$ và bán kính $R$.

Cho hình vuông $ABCD$ có độ dài cạnh $10m$. Cho điểm $M$ thuộc cạnh $BC$, điểm $N$ thuộc cạnh $CD$ sao cho $BM=DN=x(m)$ và tam giác $AMN$ là tam giác đều. Diện tích của tam giác $AMN$ là bao nhiêu mét vuông? (kết quả làm tròn tới hàng phần chục).

Hai tàu cá khởi hành cùng thời điểm từ hai hòn đảo $A$ và $B$, chuyển động thẳng đều. Trên màn hình rada của trạm điều khiển (được coi như mặt phẳng tọa độ $Oxy$ với đơn vị trên hai trục tính theo km), tàu $A$ di chuyển trên đường thẳng ${\Delta }_1$ có phương trình là $$\{\begin{array}{l}x=-4+30t\\ y=-5+40t\end{array}$$ và tàu $B$ di chuyển theo đường thẳng ${\Delta }_2$ có phương trình là $$\{\begin{array}{l}x=6+25t\\ y=5+35t\end{array},$$ trong đó $t$ (giờ) biểu thị thời gian di chuyển của hai tàu. Hỏi sau bao nhiêu giờ thì hai tàu sẽ gặp nhau?

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $(C)$ có tâm $I(2;-1)$ và tiếp xúc với đường thẳng $d:3x-4y+1=0$. Tính bán kính của đường tròn $(C)$.

Một đường hầm xuyên núi có chiều rộng $12m$, mặt cắt đứng của đường hầm có dạng nửa elip (hình dưới).

Các kĩ sư đã thiết kế sao cho vị trí cao nhất của hầm so với mặt đường là $4m$. Hãy tính chiều cao $h$ của hầm tại vị trí cách mép đường $1,5m$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho điểm $A(1;2)$ và đường thẳng $\Delta$ có phương trình $3x-4y+5=0$. Tìm tọa độ điểm $M$ là hình chiếu của điểm $A$ trên đường thẳng $\Delta$.

Dọc theo tuyến đường quốc lộ từ huyện $C$ đến thành phố $A$, người ta cần xác định một trạm trung chuyển hàng hóa $G$ và xây dựng một con đường từ trạm $G$ đến huyện $B$ sao cho khoảng cách từ trạm $G$ đến hai huyện $B$ và $C$ là như nhau. Biết rằng khoảng cách $AC=100km$, $AB=60km$. Tính khoảng cách từ trạm trung chuyển $G$ đến thành phố $A$.

Có một công viên nhỏ hình tam giác. Người ta dự định đặt một cây đèn để chiếu sáng toàn bộ công viên, biết vùng chiếu sáng của đèn là một hình tròn. Người ta đo đạc và mô phỏng các kích thước công viên. Thiết lập một hệ trục tọa độ $Oxy$, khi đó các đỉnh của công viên có tọa độ lần lượt là $A(0;2)$, $B(3;5)$, $C(3;0)$.
Gọi $I$ là điểm đặt cây đèn sao cho đèn chiếu sáng toàn bộ công viên. Tìm tọa độ điểm $I$ và tính bán kính chiếu sáng (tính theo đơn vị mét) để chi phí tiết kiệm nhất? (làm tròn đến hàng phần chục, giả sử 1 đơn vị trên hệ trục bằng 10 mét).