Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích theo diện tích thiết diện (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích mặt cắt hình vuông cạnh $2\sqrt{1-x^2}$ là $S(x)={\left(2\sqrt{1-x^2}\right)}^2=4(1-x^2)$, hàm liên tục trên $[-1;1]$ nên a) Đúng. Thể tích tính bằng $V={\int }_{-1}^{1}S(x)dx$ (không có hệ số $\pi$ vì mặt cắt là hình vuông, không phải hình tròn) nên b) Sai. $S(x)=4(1-x^2)\ne 2(1-x^2)$ nên c) Sai. $V={\int }_{-1}^{1}4(1-x^2)dx=4{\left[x-\frac{x^3}{3}\right]}_{-1}^1=4\cdot \frac{4}{3}=\frac{16}{3}$ nên d) Đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn: Đ S S Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$S(x)=4(1-x^2)$ là đa thức nên liên tục trên $[-1;1]$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Công thức đúng là $V={\int }_{-1}^{1}S(x)dx$; hệ số $\pi$ chỉ dùng khi mặt cắt là hình tròn.
c) (AI giải đề cho tôi)
$S(x)={\left(2\sqrt{1-x^2}\right)}^2=4(1-x^2)$, không phải $2(1-x^2)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$V={\int }_{-1}^{1}4(1-x^2)dx=4\left(2-\frac{2}{3}\right)=\frac{16}{3}$.

Chọn A.
Thiết diện vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ là hình vuông có cạnh $a=\sqrt{4-x}$.
Diện tích thiết diện là $S(x)=a^2=(\sqrt{4-x}{)}^2=4-x$.
Thể tích vật thể $(T)$ là:
$$V={\int }_{-1}^{2}S(x)dx={\int }_{-1}^2(4-x)dx={\left(4x-\frac{x^2}{2}\right)|}_{-1}^2=(8-2)-\left(-4-\frac{1}{2}\right)=6-\left(-\frac{9}{2}\right)=6+\frac{9}{2}=\frac{21}{2}.$$

Thể tích vật thể là $V={\int }_1^{4}S(x)dx={\int }_1^{4}3x^{2}dx=x^3{|}_1^4=64-1=63$.

Diện tích thiết diện tại hoành độ $x$ là $S(x)=(2\sqrt{1-x^2}{)}^2=4(1-x^2)$. Thể tích vật thể là $V={\int }_{-1}^{1}4(1-x^2)\mathrm{d}x=\frac{16}{3}$.