Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Lập phương trình đường thẳng Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương của đường thẳng song song với cả (P) và (Q) là $\vec{u}=\overrightarrow{n_P}\times \overrightarrow{n_Q}=(1;1;1)\times (1;-1;1)=(1\cdot 1-1\cdot (-1);1\cdot 1-1\cdot 1;1\cdot (-1)-1\cdot 1)=(2;0;-2)\parallel (1;0;-1)$. Đường thẳng qua $A(1;-2;3)$: $x=1+t,y=-2,z=3-t$, khớp với phương án D. Kiểm tra: $\vec{u}=(1;0;-1)\cdot (1;1;1)=0$ và $\vec{u}\cdot (1;-1;1)=0$, nên song song với cả hai mặt phẳng.

(AI giải đề cho tôi)
a) Từ phương trình tham số của Δ, vecto chỉ phương là u=(2;1;-5), không phải (1;3;4) → sai. b) Trung điểm AB là I(1;2;-1), AB=2 nên R=1; mặt cầu là (x-1)²+(y-2)²+(z+1)²=1, khác đề → sai. c) d qua A(0;2;-1) song song Δ có VTCP (2;1;-5): x/2=(y-2)/1=(z+1)/(-5), khác đề → sai. d) AB=(2;0;0), u=(2;1;-5); cos α=|AB·u|/(|AB||u|)=4/(2√30)=2/√30=√30/15 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
VTCP của Δ là (2;1;-5), không phải (1;3;4).
b) (AI giải đề cho tôi)
Tâm I(1;2;-1), bán kính R=AB/2=1, phương trình đúng là (x-1)²+(y-2)²+(z+1)²=1.
c) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình đúng: x/2=(y-2)/1=(z+1)/(-5).
d) (AI giải đề cho tôi)
cos α=|4|/(2·√30)=2/√30=√30/15.

(AI giải đề cho tôi)
a) Từ phương trình tham số của d1, vectơ chỉ phương là (0;−3;4), không phải (1;−3;4) → Sai. b) Đường thẳng vuông góc với (P) có vectơ chỉ phương chính là vectơ pháp tuyến (1;3;−2) → Đúng. c) Vectơ w phải vuông góc cả u2=(3;−3;2) và k=(0;0;1); nhưng w·u2 = 9+9+4 = 22 ≠ 0, nên w không vuông góc d2 → Sai. d) Vectơ u3=(−1;−1;0) có thành phần z bằng 0 nên vuông góc trục Oz, nhưng đường thẳng qua A(1;−1;2) theo u3 có dạng (1−t; −1−t; 2); để cắt Oz cần x=y=0, tức t=1 và t=−1 (mâu thuẫn), nên đường thẳng không cắt Oz → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số của d1: x=1, y=2−3t, z=3+4t, vectơ chỉ phương là (0;−3;4), không phải (1;−3;4).
b) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng vuông góc với (P) nhận vectơ pháp tuyến của (P), tức (1;3;−2), làm vectơ chỉ phương.
c) (AI giải đề cho tôi)
w=(3;−3;2) trùng với vectơ chỉ phương của d2 nên không thể vuông góc với d2; thực tế w·u2 = 22 ≠ 0.
d) (AI giải đề cho tôi)
u3=(−1;−1;0) vuông góc Oz nhưng đường thẳng qua A(1;−1;2) theo u3: (1−t; −1−t; 2) không thể có x=y=0 đồng thời, nên không cắt trục Oz.

Theo HD chấm (Đề 102 và 104):
$\overrightarrow{AC}=(0;1;2);\overrightarrow{BC}=(1;-1;2)$
Vecto pháp tuyến của mp(ABC) là
$\vec{n}=(4;2;-1)$
Suy ra vecto chỉ phương của đường thẳng cần viết phương trình là $\vec{n}=(4;2;-1)$
Phương trình chính tắc $\frac{x-1}{4}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{-1}$
(Thang điểm: 0,25 + 0,25 + 0,25 + 0,25)

Chọn D.
Vectơ chỉ phương của đường thẳng là $\overrightarrow{AB}=(3-1;-1-2;1-(-3))=(2;-3;4)$.
Đường thẳng đi qua điểm $A(1;2;-3)$ có phương trình chính tắc là:
$\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z+3}{4}$.

Chọn B.
Ta có ${\vec{u}}_{d_1}=(1;-4;6)$ và ${\vec{u}}_{d_2}=(2;1;-5)$.
Gọi $d$ là đường thẳng qua $A$ và vuông góc với $d_1,d_2$. Khi đó VTCP của $d$ là:
${\vec{u}}_d=[{\vec{u}}_{d_1},{\vec{u}}_{d_2}]=((-4)(-5)-6\cdot 1;6\cdot 2-1(-5);1\cdot 1-(-4)\cdot 2)=(14;17;9).$
Phương trình đường thẳng $d$ qua $A(1;-1;2)$ là:
$\frac{x-1}{14}=\frac{y+1}{17}=\frac{z-2}{9}.$

Vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$ là $\vec{u}=\overrightarrow{AB}=(2;-3;4)$. Với phương trình ở đáp án A, khi $t=1$ ta được điểm $(1;2;-3)=A$, và vectơ chỉ phương là $(2;-3;4)$. Do đó A là phương trình tham số đúng của đường thẳng $AB$.

Mặt phẳng $(P):\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{4}=1\iff 6x+4y+3z-12=0$ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_P=(6;4;3)$. Đường thẳng đi qua $O(0;0;0)$ và vuông góc với $(P)$ nhận ${\vec{n}}_P=(6;4;3)$ làm vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số $\{\begin{array}{l}x=6t\\ y=4t\\ z=3t\end{array}$.

Đường thẳng vuông góc với $(P)$ nhận ${\vec{n}}_P=(2;-1;2)$ làm vectơ chỉ phương và đi qua $A(1;2;-1)$ nên có phương trình $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+1}{2}$. Chọn A.