Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đếm và chọn nghiệm lượng giác trên miền (Toán học Lớp 11)

Đặt $t=2x\in (-2\pi ;3\pi )$. Phương trình viết lại thành $\sin t+m(1+\cos t)=5$. Vì $\cos t=-1$ không là nghiệm nên đặt $u=\tan \frac{t}{2}=\tan x$, ta có $\frac{2u}{1+u^2}+\frac{2m}{1+u^2}=5⟺5u^2-2u+5-2m=0$. Trên khoảng $\left(-\pi ;\frac{3\pi }{2}\right)$, mỗi giá trị $u<0$ cho $2$ nghiệm $x$, giá trị $u=0$ cho $2$ nghiệm $x$, và mỗi giá trị $u>0$ cho $3$ nghiệm $x$. Để phương trình có đúng $5$ nghiệm thì phương trình bậc hai theo $u$ phải có một nghiệm $u_1>0$ và một nghiệm $u_2\le 0$, điều này xảy ra khi và chỉ khi $5-2m\le 0⟺m\ge \frac{5}{2}$. Do $m\in \mathbb{Z}\cap [-10;10]$ nên $m\in \{3;4;5;6;7;8;9;10\}$, có $8$ giá trị. Chọn đáp án A.

Chọn B.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Trần Phú - Hà Tĩnh, Mã đề 101, Trang 5)

Đặt $t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$.
Vì $|\sin |\le 1$ nên $t\in [-\sqrt{2};\sqrt{2}]$.
Ta có:
$$t^2=(\sin x+\cos x{)}^2=1+\sin 2x⟹\sin 2x=t^2-1.$$
Và $2\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=2t$.
Thay vào phương trình ban đầu:
$$f^2(t)+1=2tf(t)-(t^2-1)⟺f^2(t)-2tf(t)+t^2=0⟺(f(t)-t{)}^2=0⟺f(t)=t.$$
Từ đồ thị hàm số bậc ba $y=f(t)$ đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$ với điểm cực đại $(-1;2)$ và điểm cực tiểu $(1;-2)$, ta xác định được hàm số $f(t)=t^3-3t$.
Phương trình $f(t)=t$ trở thành:
$$t^3-3t=t⟺t^3-4t=0⟺t(t^2-4)=0⟺[<table><tbody><tr><td>t=0</td></tr><tr><td>t=\pm 2</td></tr></tbody></table>$$
Vì $t\in [-\sqrt{2};\sqrt{2}]$, các giá trị $t=\pm 2$ bị loại.
Chỉ có nghiệm $t=0$ thỏa mãn.
Với $t=0⟺\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=0⟺x+\frac{\pi }{4}=k\pi ⟺x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.
Để nghiệm thuộc đoạn $\left[-\frac{5\pi }{4};\frac{5\pi }{4}\right]$:
$$-\frac{5\pi }{4}\le -\frac{\pi }{4}+k\pi \le \frac{5\pi }{4}⟺-1\le k\le \frac{3}{2}.$$
Do $k\in \mathbb{Z}⟹k\in \{-1,0,1\}$.
Có đúng 3 giá trị của $k$, tương ứng với 3 nghiệm thực phân biệt:
$$x=-\frac{5\pi }{4},x=-\frac{\pi }{4},x=\frac{3\pi }{4}.$$
Vậy phương trình có 3 nghiệm thực thuộc đoạn đã cho.