Trong một đợt kiểm tra sức khoẻ, có một loại bệnh $X$ mà tỉ lệ người mắc bệnh là $0,3\%$ và một loại xét nghiệm $Y$ mà ai mắc bệnh $X$ khi xét nghiệm $Y$ cũng có phản ứng dương tính. Tuy nhiên, có $6\%$ những người không bị bệnh $X$ lại có phản ứng dương tính với xét nghiệm $Y$. Chọn ngẫu nhiên một người trong đợt kiểm tra sức khoẻ đó. Giả sử người đó có phản ứng dương tính với xét nghiệm $Y$. Xác suất người đó bị mắc bệnh $X$ là bao nhiêu? *(Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)*

Một trung tâm an ninh mạng sử dụng hai bộ lọc độc lập $S_1$ và $S_2$ để quét các tập tin lạ. Qua thống kê, tỷ lệ tập tin có mã độc trong hệ thống là $2\%$.
- Đối với một tập tin có mã độc, xác suất nó bị $S_1$ cảnh báo là $0,9$; bị $S_2$ cảnh báo là $0,8$ và xác suất bị cả hai bộ lọc cùng cảnh báo là $0,75$.
- Đối với một tập tin không có mã độc, xác suất nó bị $S_1$ cảnh báo là $0,05$; bị $S_2$ cảnh báo là $0,03$ và xác suất nó không bị bộ lọc nào cảnh báo là $0,93$.
Một tập tin được quét và bị ít nhất một bộ lọc cảnh báo. Xác suất để tập tin đó thực sự có mã độc là bao nhiêu phần trăm? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười)

Ở một địa phương có $10\%$ dân số mắc căn bệnh $X$. Một phương pháp chẩn đoán có tỷ lệ chính xác là $97\%$ (nghĩa là, nếu người đó thực sự mắc bệnh, xác suất để xét nghiệm cho kết quả dương tính là $97\%$). Tuy nhiên, phương pháp này không hoàn hảo, tức là nếu một người không mắc bệnh, xác suất để xét nghiệm vẫn cho kết quả dương tính (dương tính giả) là $3\%$. Chọn ngẫu nhiên một người dân của địa phương đó đi xét nghiệm. Nếu một người được kiểm tra cho kết quả dương tính, xác suất người đó thực sự mắc bệnh bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Câu 2. Tại một sân bay, hệ thống kiểm tra hành lý tự động được sử dụng để phát hiện hành lý có chứa vật cấm. Nếu một hành lý có chứa vật cấm, hệ thống phát hiện đúng và báo động với xác suất $0,98$. Nếu một hành lý không chứa vật cấm, hệ thống vẫn báo động nhầm với xác suất $0,02$. Theo thống kê, tỉ lệ hành lý có chứa vật cấm là $1\%$. Chọn ngẫu nhiên một hành lý được kiểm tra. Tính xác suất để hành lý đó thực sự có chứa vật cấm biết rằng hành lý đó bị báo động. Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm.

Câu 3. Tại một địa phương, tỷ lệ người mắc một căn bệnh truyền nhiễm $X$ là $5\%$. Để phát hiện bệnh, người ta sử dụng một loại xét nghiệm nhanh có đặc tính sau: Nếu một người thực sự mắc bệnh, xác suất xét nghiệm cho kết quả dương tính là $90\%$. Tuy nhiên, nếu một người không mắc bệnh, vẫn có $10\%$ xác suất xét nghiệm cho kết quả dương tính (dương tính giả). Chọn ngẫu nhiên một người tại địa phương đó để làm xét nghiệm.

Câu 1. Một hệ thống AI được sử dụng để kiểm tra đạo văn trong các bài viết học sinh nộp. Theo thống kê có $1\%$ bài viết là đạo văn; $99\%$ bài viết là chính chủ (không đạo văn). Phần mềm kiểm tra có độ chính xác như sau: Nếu bài viết là đạo văn, phần mềm phát hiện đúng với xác suất $98\%$; Nếu bài viết là chính chủ, phần mềm cảnh báo nhầm là đạo văn với xác suất là $3\%$.

Giả sử có một loại bệnh $S$ mà tỉ lệ người mắc bệnh là $0,1\%$. Giả sử có một loại xét nghiệm, mà ai mắc bệnh $S$ khi xét nghiệm cũng có phản ứng dương tính, nhưng tỉ lệ phản ứng dương tính là $5\%$ (tức là trong số những người không bị bệnh $S$ có $5\%$ số người xét nghiệm lại có phản ứng dương tính). Khi một người xét nghiệm có phản ứng dương tính thì khả năng mắc bệnh $S$ của người đó là bao nhiêu phần trăm (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?