Trong một đại sảnh triển lãm, người ta chọn hệ tọa độ $Oxyz$ với mặt sàn được xem là mặt phẳng $(Oxy)$ (đơn vị đo chiều dài là mét). Một bóng đèn chiếu sáng được đặt trên trần nhà tại điểm $M(1;1;4)$. Một thanh trang trí $AB$ bằng kim loại được treo nằm ngang song song với mặt sàn, có tọa độ các đầu mút là $A(2;1;2)$ và $B(-2;2;2)$. Bóng đèn chiếu sáng thanh $AB$ tạo ra một bóng râm là đoạn thẳng $A^{\prime }{B}^{\prime }$ trên mặt sàn. Ban quản lý muốn trải một tấm thảm hình tròn trang trí có tâm tại gốc $O(0;0;0)$ để che phủ hoàn toàn bóng râm này.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{MA}=A-M=(2-1;1-1;2-4)=(1;0;-2)$ → Đúng.
b) $A(2;1;2)$ và $B(-2;2;2)$ cùng có $z=2$ nên $AB\parallel (Oxy)$, góc giữa $AB$ và mặt sàn bằng $0^{\circ }$ → Đúng.
c) $\overrightarrow{MB}=(-3;1;-2)$, không cùng phương với vectơ chỉ phương $(1;0;-2)$ của phương trình đề cho (phương trình đó đi qua $M$ theo hướng $\overrightarrow{MA}$). Phương trình đúng: $x=1-3t,y=1+t,z=4-2t$ → Sai.
d) Tia sáng $MA$: $M+s(1;0;-2)$, $z=4-2s=0\Rightarrow s=2\Rightarrow A^{\prime }=(3;1;0)$, $O{A}^{\prime }=\sqrt{10}$. Tia sáng $MB$: $M+s(-3;1;-2)$, $s=2\Rightarrow B^{\prime }=(-5;3;0)$, $O{B}^{\prime }=\sqrt{34}$. Bình phương khoảng cách tới $O$ trên đoạn $A^{\prime }{B}^{\prime }$ là hàm bậc hai theo tham số nên giá trị lớn nhất đạt tại đầu mút, cụ thể $B^{\prime }$ với $\sqrt{34}$. Vậy bán kính tối thiểu là $\sqrt{34}$ m, không phải $\sqrt{10}$ m → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MA}=(2-1;1-1;2-4)=(1;0;-2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$A,B$ cùng có $z=2$ nên $AB\parallel (Oxy)$, góc bằng $0^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MB}=(-3;1;-2)\ne (1;0;-2)$; phương trình đúng: $x=1-3t,y=1+t,z=4-2t$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$A^{\prime }=(3;1;0)$, $B^{\prime }=(-5;3;0)$; điểm xa $O$ nhất trên bóng râm là $B^{\prime }$ với $O{B}^{\prime }=\sqrt{34}$, nên bán kính tối thiểu là $\sqrt{34}$ m.