Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường tròn $(C):x^2+y^2-2x+4y+1=0$ có tâm $I$, đường thẳng $\Delta :x+y-1=0$ và điểm $A(3;-2)$.

(AI giải đề cho tôi)
$(C):x^2+y^2-2x+4y+1=0\iff (x-1{)}^2+(y+2{)}^2=4$, tâm $I(1;-2)$, bán kính $R=2$ → a) Đúng. Khoảng cách $d(I,\Delta )=\frac{|1-2-1|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\ne \sqrt{3}$ → c) Sai. Vì $d=\sqrt{2}<R=2$ nên đường tròn cắt $\Delta$ tại hai điểm, tồn tại hai tiếp tuyến song song với $\Delta$ → b) Đúng. Dây $MN$ có độ dài $|MN|=2\sqrt{R^2-d^2}=2\sqrt{4-2}=2\sqrt{2}$, diện tích tam giác $IMN=\frac{1}{2}\cdot |MN|\cdot d=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2$ → d) Đúng. Khớp với đáp án chính thức ĐĐSĐ.
a) $(C)$ có tâm $I(1;-2)$, $R=\sqrt{1+4-1}=2$.
b) $d(I,\Delta )=\sqrt{2}<R=2$ nên có hai tiếp tuyến song song với $\Delta$.
c) $d(I,\Delta )=\frac{|1-2-1|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\ne \sqrt{3}$.
d) $|MN|=2\sqrt{R^2-d^2}=2\sqrt{2}$, $S_{IMN}=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2$.