Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$, cho $\vec{u}=(3;2;-6)$, mặt phẳng $(P):2x+2y+z-10=0$ và mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2+4x+2y-2z-3=0$.

Cho mặt cầu tâm $O$, bán kính $r=5$. Mặt phẳng $(P)$ cắt mặt cầu sao cho giao tuyến đi qua ba điểm $A,B,C$ mà $AB=3,BC=5,CA=4$. Tính khoảng cách từ $O$ đến $(P)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho $2$ điểm $A(2;4;1)$, $B(-2;2;-3)$. Phương trình mặt cầu đường kính $AB$ là:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A(2;1;1)$ và mặt phẳng $(P):2x-y+2z+1=0$. Mặt cầu tâm $A$ tiếp xúc với mặt phẳng $(P)$ có phương trình là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2+2x-4y-6z+m-3=0$. Tìm số thực $m$ để $(\beta ):2x-y+2z-8=0$ cắt $(S)$ theo một đường tròn có chu vi bằng $8\pi$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-2{)}^2=9$ và hai điểm $M(4;-4;2),N(6;0;6)$. Gọi $E$ là điểm thuộc mặt cầu $(S)$ sao cho $EM+EN$ đạt giá trị lớn nhất. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu $(S)$ tại $E$.

Cho số phức $z$ thỏa mãn $|z-2-3i|=1$. Giá trị lớn nhất của $|\bar{z}+1+i|$ là