Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2+2x-4y-6z+m-3=0$. Tìm số thực $m$ để $(\beta ):2x-y+2z-8=0$ cắt $(S)$ theo một đường tròn có chu vi bằng $8\pi$.

Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu $(S)$ có phương trình: $x^2+y^2+z^2-2x-4y+6z+10=0$. Bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mặt cầu $(S)$ có tâm $I(2;-1;2)$ và đi qua gốc tọa độ $O$ có phương trình là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ tâm $I(2;-1;-2)$ và đi qua gốc tọa độ $O$. Gọi $d_1,d_2,d_3$ là ba đường thẳng thay đổi không đồng phẳng cùng đi qua $O$ và lần lượt cắt mặt cầu $(S)$ tại điểm thứ hai là $A,B,C$. Khi thể tích của khối tứ diện $OABC$ đạt giá trị lớn nhất thì mặt phẳng $(ABC)$ đi qua điểm nào sau đây?

Hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh $AD=a$, $BD=2a$, góc giữa đường chéo $A{B}^{\prime }$ của mặt bên $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ hợp với mặt phẳng đáy một góc $60^{\circ }$. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$.

Trong không gian $Oxyz$, cho $4$ điểm $A(1;1;0)$, $B(3;1;2)$, $C(-1;1;2)$, $D(1;-1;2)$, viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$.

Mặt cầu $(S):(x+y{)}^2=2xy-z^2+1-4x$ có tâm là: