Cho mặt cầu tâm $O$, bán kính $r=5$. Mặt phẳng $(P)$ cắt mặt cầu sao cho giao tuyến đi qua ba điểm $A,B,C$ mà $AB=3,BC=5,CA=4$. Tính khoảng cách từ $O$ đến $(P)$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(3;-2;6)$, $B(0;1;0)$ và mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-3{)}^2=25$. Mặt phẳng $(P):ax+by+cz-2=0$ đi qua $A,B$ và cắt $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng $2\sqrt{5}$. Tính $T=a+b+c$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;1;1)$, $B(2;2;1)$ và mặt phẳng $(P):x+y+2z=0$. Mặt cầu $(S)$ thay đổi qua hai điểm $A,B$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P)$ tại $H$. Biết $H$ chạy trên một đường tròn tâm $K$ cố định. Tìm bán kính của mặt cầu $(S)$ khi $OH$ đạt giá trị lớn nhất.

Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu có tâm $I(1;2;-1)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P):2x-2y-z-8=0$ có phương trình là

Tại buổi lễ Tri ân và Trưởng thành cho học sinh khối 12 của một trường THPT CVP. Kết thúc buổi lễ một học sinh đại diện cho các bạn khối 12 thả một khinh khí cầu với khát vọng bay cao và vươn xa. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mỗi đơn vị trên trục ứng với $1$ m, giả sử khinh khí cầu đang ở vị trí có phương trình là $(S):(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-10{)}^2=2$. Cùng thời điểm đó có ba chiếc flycam $A,B,C$ cách nhau $3$m, $4$m, $5$m và tạo thành tam giác $ABC$ có ba cạnh tiếp xúc với mặt cầu $(S)$, biết rằng mặt phẳng $(ABC)$ song song với mặt phẳng $(P):2x-y+2z-17=0$ và có phương trình dạng $2x+ay+bz+c=0$. Tổng giá trị của $T=a+b+c$ là bao nhiêu?

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2=2024$. Hỏi có bao nhiêu điểm $M(a;b;c),a+b+c>0$ thuộc mặt cầu $(S)$ sao cho tiếp diện của $(S)$ tại $M$ cắt các trục $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại $A,B,C$ có thể tích tứ diện $OABC$ là nhỏ nhất?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x + y - 2 z + 3 = 0 và điểm I (1;1;0 ) .
Phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với ( P ) là:
5 25