Trong một kỳ thi bằng hình thức vấn đáp, ban tổ chức chuẩn bị một bộ câu hỏi gồm $12$ câu hỏi khác nhau, mỗi câu được đựng trong một phong bì kín giống hệt nhau. Có ba thí sinh $A,B$ và $C$ cùng tham gia. Quy tắc chọn câu hỏi như sau: mỗi thí sinh lần lượt chọn ngẫu nhiên $4$ phong bì từ bộ $12$ câu hỏi đó để xác định phần thi của mình (sau khi mỗi thí sinh chọn xong, các câu hỏi được hoàn trả lại để thí sinh tiếp theo vẫn chọn từ bộ $12$ câu ban đầu).
Biết rằng xác suất để xảy ra đồng thời hai điều kiện:
+ Có ít nhất một câu hỏi mà cả ba thí sinh $A,B,C$ đều chọn giống nhau.
+ Tổng số câu hỏi khác nhau mà cả ba thí sinh đã chọn được là đúng $9$ câu.
được viết dưới dạng phân số tối giản $\frac{a}{b}$ (với $a,b$ là các số nguyên dương). Tính giá trị của biểu thức: $S=a+b$.