Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(3;1;2),B(1;-1;2)$ và mặt phẳng $(P):x+y+2z-18=0$. Khi điểm $M$ thay đổi trên mặt phẳng $(P)$ lấy điểm $N$ thuộc tia $OM$ sao cho $OM\cdot ON=36$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $N{A}^2+N{B}^2$.

Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x+4y-8z-4=0$ tiếp xúc với 3 cạnh của tam giác $ABC$. Biết $AB=3,BC=4,CA=5$; tính khoảng cách từ tâm của mặt cầu đến $(ABC)$. (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):2x+y-2z+3=0$ và điểm $I(1;1;0)$. Phương trình mặt cầu tâm $I$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P)$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P):3x-4z+8=0$ và $(Q):3x-4z-12=0$. Gọi $(S)$ là mặt cầu đi qua gốc tọa độ $O$ và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$. Biết rằng khi $(S)$ thay đổi thì tâm của nó luôn nằm trên một đường tròn $(C)$ có tâm $H(a;b;c)$, bán kính $r$. Tính $T=25\left(a+c+\frac{r}{\sqrt{6}}\right)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+(y-1{)}^2+(z+1{)}^2=1$ và đường thẳng $d$ có phương trình $x-2=y=-z$. Hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ chứa $d$, tiếp xúc với $(S)$ tại $T$ và $T^{\prime }$. Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng $T{T}^{\prime }$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt cầu ( S ) : ( x − 3) + y 2 + z 2 =
2
9 và
( S ′) : x2 + ( y − 6 ) + z 2 =
2
24 cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn ( C ) và mặt phẳng ( P ) : z − m =
0.
Gọi T là tập hợp các giá trị của m để trên mặt phẳng ( P ) dựng được một tiếp tuyến đến đường tròn
( C ) . Tổng các phần tử của tập hợp T là

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(P):2x-2y-z+1=0$ và $(Q):x+2y-2z-4=0$. Xét mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2+4x-6y+m=0(m<13)$.