Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x+4y-8z-4=0$ tiếp xúc với 3 cạnh của tam giác $ABC$. Biết $AB=3,BC=4,CA=5$; tính khoảng cách từ tâm của mặt cầu đến $(ABC)$. (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Mặt cầu $(S)$ có phương trình $x^2+y^2+z^2-2x+4y-8z-4=0\iff (x-1{)}^2+(y+2{)}^2+(z-4{)}^2=25$.
Tâm mặt cầu $I(1;-2;4)$ và bán kính $R=\sqrt{1+4+16-(-4)}=\sqrt{25}=5$.
Tam giác $ABC$ có $AB=3,BC=4,CA=5$, thoả mãn $3^2+4^2=5^2$ nên là tam giác vuông tại $B$.
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác vuông $ABC$ là $r=\frac{AB+BC-CA}{2}=\frac{3+4-5}{2}=1$.
Vì mặt cầu $(S)$ tiếp xúc với 3 cạnh của tam giác $ABC$, giao tuyến của mặt cầu $(S)$ với mặt phẳng $(ABC)$ chứa đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ (bán kính $r=1$).
Khoảng cách từ tâm $I$ đến mặt phẳng $(ABC)$ là:
$d=\sqrt{R^2-r^2}=\sqrt{5^2-1^2}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}\approx 4,8989\approx 4,9.$
(Theo bảng đáp án chính thức trang 9, mã đề 101: Kết quả là 4,9).