Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A(0;-2;-1),B(-2;-4;3),C(1;3;-1)$ và mặt phẳng $(P):x+y-2z-3=0$. Tìm điểm $M\in (P)$ sao cho $|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}|$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Gọi $I$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+2\overrightarrow{IC}=\vec{0}\Rightarrow I=\frac{A+B+2C}{4}$:
$x_I=\frac{0-2+2(1)}{4}=0$.
$y_I=\frac{-2-4+2(3)}{4}=0$.
$z_I=\frac{-1+3+2(-1)}{4}=0$.
Suy ra $I$ là gốc tọa độ $O(0;0;0)$.
Khi đó $|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}|=|4\overrightarrow{MI}|=4MI$.
$MI$ nhỏ nhất khi $M$ là hình chiếu vuông góc của $O(0;0;0)$ lên mặt phẳng $(P)$.
Đường thẳng qua $O$ vuông góc với $(P)$ có VTCP $\vec{n}=(1;1;-2)$ nên $M(t;t;-2t)$.
Thay vào phương trình $(P)$: $t+t-2(-2t)-3=0\iff 6t=3\iff t=\frac{1}{2}$.
Vậy $M\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2};-1\right)$.