Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y-1{)}^2+(z+2{)}^2=4$ và điểm $A(1;1;-1)$. Ba mặt phẳng thay đổi đi qua $A$ và đôi một vuông góc với nhau, cắt mặt cầu $(S)$ theo ba giao tuyến là các đường tròn $(C_1),(C_2),(C_3)$. Tổng bán kính của ba đường tròn $(C_1),(C_2),(C_3)$ là

Câu 6. Người ta muốn thiết kế một lều cắm trại có dạng là một phần mặt cầu bằng phần mềm 3D (hình vẽ phía dưới).
Cho biết phương trình của bề mặt lều là $(S):(x-3{)}^2+(y-3{)}^2+(z-1{)}^2=9$.
Phương trình mặt phẳng chứa cửa lều là $(P):x=2$.
Phương trình mặt phẳng chứa sàn lều là $(Q):z=0$.
Biết đường tròn cửa lều có tâm là $I_1(a_1;b_1;c_1)$ và bán kính $r_1$; Đường tròn sàn lều có tâm là $I_2(a_2;b_2;c_2)$ và bán kính $r_2$. Tính giá trị của biểu thức $T=a_1{a}_2+b_1{b}_2+c_1{c}_2+r_1{r}_2$.

Câu 6. Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;2;-1)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P):2x-2y-z-8=0$ có phương trình là

Câu 2. Trong Lễ Tri ân và Trưởng thành của học sinh khối 12 trường THPT Nguyễn Du. Đoàn trường có thiết kế một không gian chụp ảnh kỷ yếu trên sân trường. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị là mét), mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt sân. Đoàn trường dựng một khung backdrop phẳng nằm dọc theo mặt phẳng $(P):2x-y+2z-15=0$. Phía trước khung backdrop, một quả cầu trang trí bằng nhựa trong suốt mô phỏng Trái Đất được treo lơ lửng, quả cầu có tâm $I(1;2;3)$ và bán kính $R=3$. Để lấy bối cảnh quay phim toàn cảnh, một học sinh điều khiển flycam xuất phát từ điểm $A(13;-16;9)$ và bay theo đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(-2;3;-1)$.

Cho mặt cầu $(S)$ bán kính $R=5\text{ cm}$. Mặt phẳng $(P)$ cắt mặt cầu $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn $(C)$ có chu vi bằng $8\pi \text{ cm}$. Bốn điểm $A,B,C,D$ thay đổi sao cho $A,B,C$ thuộc đường tròn $(C)$, điểm $D$ thuộc $(S)$ (không thuộc đường tròn $(C)$) và tam giác $ABC$ là tam giác đều. Tính thể tích lớn nhất của khối tứ diện $ABCD$.

Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z+10=0$. Xét đường thẳng $d:\{<table><tbody><tr><td>x=1+t</td></tr><tr><td>y=-mt</td></tr><tr><td>z=(m-1)t</td></tr></tbody></table>$ ($t\in \mathbb{R}$), với $m$ là tham số. Giả sử hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ chứa đường thẳng $d$ và lần lượt tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ tại $M$ và $N$. Khi đoạn thẳng $MN$ ngắn nhất thì mặt phẳng $(\alpha )$ qua tâm của mặt cầu $(S)$ và vuông góc với đường thẳng $d$ có dạng $5x+by+cz+d=0$. Hãy tính $T=b+c+d$.

Mặt phẳng nào dưới đây cắt mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x-2y-4z-3=0$ theo thiết diện là một đường tròn?