Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho bốn điểm $A(2;0;0)$, $B(0;3;0)$, $C(0;0;6)$ và $D(1;1;1)$. Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua $D$ và thỏa mãn tổng khoảng cách từ các điểm $A,B,C$ đến $\Delta$ là lớn nhất. Khi đó $\Delta$ đi qua điểm nào trong các điểm dưới đây?

Chọn B.
Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ theo đoạn chắn là: $\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{6}=1\iff 3x+2y+z-6=0$.
Thay tọa độ $D(1;1;1)$ vào: $3(1)+2(1)+1-6=0$, suy ra $D\in (ABC)$.
Gọi hình chiếu của $A,B,C$ lên đường thẳng $\Delta$ là $H,I,J$. Ta luôn có $AH\le AD,BI\le BD,CJ\le CD$.
Tổng khoảng cách lớn nhất khi và chỉ khi $\Delta \perp (ABC)$ tại $D$.
Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABC)$ là $\vec{n}=(3;2;1)$. Do đó véc-tơ chỉ phương của $\Delta$ là $\vec{u}=(3;2;1)$.
Phương trình chính tắc của $\Delta$ là: $\frac{x-1}{3}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{1}$.
Kiểm tra các điểm đã cho:
Với điểm $(4;3;7)$: $\frac{4-1}{3}=\frac{3-1}{2}=\frac{7-1}{6}$... (chú ý tỷ lệ với $\vec{n}=(3;2;6)$ khi quy đồng: $\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{6}=1\iff 3x+2y+z-6=0$).
Phương trình tham số của $\Delta$: $x=1+3t,y=1+2t,z=1+6t$.
Với $t=1\Rightarrow x=4,y=3,z=7$. Điểm $(4;3;7)$ thuộc $\Delta$.