Trong không gian $Oxyz$, phương trình của mặt cầu có tâm $I(1;-2;-3)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(Oyz)$ là

Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A (1;1;1) , B (1; 2; 2 ) và K ( -5;8; 2 ) . Mặt cầu ( S ) đi qua
hai điểm A , B và tiếp xúc với mặt phẳng ( Oxy ) tại điểm C. Giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng KC
bằng

Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên các trục là mét), một kiến trúc sư cần lắp đặt một đèn chiếu sáng tại vị trí $A$ cho một phòng triển lãm. Điểm $A$ thay đổi trên một khung thép hình tròn là giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha ):x+y-z+4=0$ và mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y-1{)}^2+(z-2{)}^2=6$. Đèn phát ra luồng sáng có dạng hình nón với góc ở đỉnh bằng $60^{\circ }$, trục của hình nón luôn vuông góc với mặt sàn $(P):x-2y+2z+10=0$. Để đảm bảo mật độ ánh sáng tập trung cao nhất cho khu vực trưng bày dưới sàn, kiến trúc sư cần điều chỉnh đèn đến vị trí sao cho diện tích vùng chiếu sáng trên mặt sàn $(P)$ là nhỏ nhất. Hãy tính diện tích vùng chiếu sáng nhỏ nhất đó. (Không làm tròn các kết quả trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần mười của ${\text{m}}^2$).

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2=9$ và điểm $M(1;2;3)$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua $M$ và cắt $(S)$ theo thiết diện là đường tròn có chu vi nhỏ nhất có phương trình là

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-2{)}^2+(y-4{)}^2+(z-6{)}^2=24$ và điểm $A(-2;0;-2)$. Từ $A$ kẻ các tiếp tuyến đến $(S)$ với các tiếp điểm thuộc đường tròn $(\omega )$. Từ điểm $M$ di động nằm ngoài $(S)$ và nằm trong mặt phẳng chứa $(\omega )$ kẻ các tiếp tuyến đến $(S)$ với các tiếp điểm thuộc đường tròn $({\omega }^{\prime })$. Biết rằng khi hai đường tròn $(\omega ),({\omega }^{\prime })$ có cùng bán kính thì $M$ luôn thuộc một đường tròn cố định. Tìm bán kính $r$ của đường tròn đó.

Cho mặt phẳng $(\alpha )$ cắt mặt cầu $S(O;R)$ theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính $r$. Gọi $d$ là khoảng cách từ $O$ đến $(\alpha )$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(2;1;1)$ và mặt phẳng $(P):2x-y+2z+1=0$. Phương trình mặt cầu tâm $A$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P)$ là