Trong không gian $Oxyz$, cho vật thể $(H)$ giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình $x=a$ và $x=b$ ($a<b$). Gọi $S(x)$ là diện tích thiết diện của $(H)$ bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ là $x$, với $a\le x\le b$. Giả sử hàm số $y=S(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$. Khi đó, thể tích $V$ của vật thể $(H)$ được tính bởi công thức

Một chiếc lều mái vòm có hình dạng như hình dưới đây. Nếu cắt lều bằng mặt phẳng song song với mặt đáy một khoảng $x$ (mét) ($0\le x\le 3$) thì được hình chữ nhật có các kích thước lần lượt là $x$ và $\sqrt{9-x^2}$. Thể tích cái lều bằng bao nhiêu (đơn vị ${\text{m}}^3$)?

Cho vật thể $(T)$ giới hạn bởi hai mặt phẳng $x=0;x=2$. Cắt vật thể $(T)$ bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại $x$ ($0\le x\le 2$) thu được thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng $(x+1)e^x$. Biết thể tích vật thể $(T)$ bằng $\frac{a{e}^4-b}{4}$ ($a,b\in \mathbb{Z}$), giá trị của $P=a+b$ bằng

Cận kề ngày Tết Nguyên Đán, bác Lộc muốn thiết kế một đèn lồng cao $40\text{ cm}$ để treo lên cây Nêu. Mặt cắt ngang tại mọi độ cao vuông góc với trục thẳng đứng của đèn lồng luôn là một hình vuông (xem hình vẽ). Mặt đáy và đỉnh của đèn lồng là hình vuông có cạnh $L_0=10\sqrt{2}\text{ (cm)}$. Mặt cắt ngang tại vị trí rộng nhất của đèn lồng là hình vuông (hình vuông có diện tích lớn nhất) có cạnh $L_{\max }=14\sqrt{2}\text{ (cm)}$. Mặt cắt của đèn lồng theo mặt phẳng đứng chứa đường chéo đáy có dạng là hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong Parabol đối xứng nhau qua trục thẳng đứng đi qua tâm đáy của đèn lồng. Một đường cong Parabol $(P):y=f(x)$ trong bốn đường cong để tạo ra khung đèn lồng được gắn trong hệ trục $Oxy$ với trục $Ox$ biểu diễn chiều cao của chiếc đèn lồng (đơn vị trên mỗi trục là $1\text{ cm}$).

Một đường hầm hiện đại được thiết kế với mặt đáy là hình thang $ACDF$ vuông tại $A$ và $C$ ($AF\parallel CD$). Xét một thiết diện bất kì của đường hầm vuông góc với $AC$ là một hình phẳng giới hạn bởi đường cong $(P)$, đoạn $BE$ và đoạn $BG$ như hình vẽ ($G$ thuộc $(P)$). Giả sử $(P)$ là một nhánh của parabol có đỉnh $S$ và hình chiếu của $S$ trên mặt nền là $H$, $E$ là chân của parabol ($E$ thuộc $(P)$ và mặt đáy) thì $SH=2EH$. Một mặt bên đường hầm có dạng mặt phẳng vuông góc với mặt đáy chứa đường thẳng $AC$, gọi $B$ là hình chiếu vuông góc của $G$ xuống mặt phẳng đáy thì $BE=BG$ và $B$ thuộc đoạn $AC$. Biết $AC=30\text{ m}$, $AF=2CD=12\text{ m}$. Thể tích đường hầm trên bằng bao nhiêu mét khối?

Một vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x=1$ và $x=3$, biết rằng khi cắt vật thể bởi một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x(1\le x\le 3)$ thì được thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng $\sqrt{3}x$. Thể tích của vật thể bằng

Cho hình nón $\mathcal{H}$ có bán kính đáy $OA=6\text{ cm}$ và chiều cao $SO=10\text{ cm}$. Cắt hình nón đã cho bởi mặt phẳng $(P)$ song song với trục $SO$ và cách trục $SO$ một khoảng bằng $3\text{ cm}$ ta được hai phần. Thể tích phần không chứa đỉnh $S$ bằng bao nhiêu ${\text{cm}}^3$? (*Không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần chục*).