Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2y+2z-7=0$. Bán kính của mặt cầu đã cho bằng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z+3{)}^2=9$. Tọa độ tâm của mặt cầu $(S)$ là:

Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên các trục là mét), một kiến trúc sư cần lắp đặt một đèn chiếu sáng tại vị trí $A$ cho một phòng triển lãm. Điểm $A$ thay đổi trên một khung thép hình tròn là giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha ):x+y-z+4=0$ và mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y-1{)}^2+(z-2{)}^2=6$. Đèn phát ra luồng sáng có dạng hình nón với góc ở đỉnh bằng $60^{\circ }$, trục của hình nón luôn vuông góc với mặt sàn $(P):x-2y+2z+10=0$. Để đảm bảo mật độ ánh sáng tập trung cao nhất cho khu vực trưng bày dưới sàn, kiến trúc sư cần điều chỉnh đèn đến vị trí sao cho diện tích vùng chiếu sáng trên mặt sàn $(P)$ là nhỏ nhất. Hãy tính diện tích vùng chiếu sáng nhỏ nhất đó. (Không làm tròn các kết quả trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần mười của ${\text{m}}^2$).

Thể tích khối cầu đường kính $2a$ bằng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=3,AD=4$ và các cạnh bên của hình chóp tạo với mặt đáy một góc $60^{\circ }$. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

Cho mặt cầu tâm $O$ và tam giác $ABC$ có ba đỉnh nằm trên mặt cầu với góc $\widehat{BAC}=30^{\circ }$ và $BC=a$. Gọi $S$ là điểm nằm trên mặt cầu, không thuộc mặt phẳng $(ABC)$ và thỏa mãn $SA=SB=SC$, góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $60^{\circ }$. Tính thể tích $V$ của khối cầu tâm $O$ theo $a$.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y+2{)}^2+(z+2{)}^2=1$ và điểm $M$ di động trên mặt cầu $(S)$. Khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ $O$ đến $M$ bằng