Trong không gian $Oxyz$, cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $a$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $A^{\prime }{D}^{\prime }$ và $C^{\prime }{D}^{\prime }$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(0;a;0)$, $C(a;a;0)$, $D(a;0;0)$, $A^{\prime }(0;0;a)$, $B^{\prime }(0;a;a)$, $C^{\prime }(a;a;a)$, $D^{\prime }(a;0;a)$.

a) $M$ trung điểm $A^{\prime }{D}^{\prime }$: $M(\frac{a}{2};0;a)$; $N$ trung điểm $C^{\prime }{D}^{\prime }$: $N(a;\frac{a}{2};a)$. Suy ra $\overrightarrow{MN}=(\frac{a}{2};\frac{a}{2};0)$. Ta có $\overrightarrow{C{B}^{\prime }}=\overrightarrow{O{B}^{\prime }}-\overrightarrow{OC}=(0;a;a)-(a;a;0)=(-a;0;a)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{C{B}^{\prime }}=\frac{a}{2}\cdot (-a)+\frac{a}{2}\cdot 0+0\cdot a=-0,5a^2$. Đúng.

b) $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(0;a;a)$, $\overrightarrow{B^{\prime }C}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{O{B}^{\prime }}=(a;0;-a)$. Tích vô hướng $=0+0-a^2=-a^2$; mỗi vectơ có độ dài $a\sqrt{2}$. Vậy $\cos (\overrightarrow{A{B}^{\prime }},\overrightarrow{B^{\prime }C})=\frac{-a^2}{2a^2}=-\frac{1}{2}\Rightarrow$ góc bằng $120^{\circ }$. Đúng.

c) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{BC}=(0;a;0)+(0;0;a)+(a;0;0)=(a;a;a)=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$. Đúng.

d) $\overrightarrow{AC}=(a;a;0)$; còn $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{O{C}^{\prime }}-\overrightarrow{O{B}^{\prime }}=(a;a;a)-(0;a;a)=(a;0;0)\ne \overrightarrow{AC}$. Sai.

Kết quả: a Đúng, b Đúng, c Đúng, d Sai — khớp đáp án nguồn (DDDS, mã đề 1001, Phần II câu 4).
a) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ đã chọn, $\overrightarrow{MN}=(\frac{a}{2};\frac{a}{2};0)$, $\overrightarrow{C{B}^{\prime }}=(-a;0;a)$, tích vô hướng $=\frac{a}{2}\cdot (-a)+0+0=-0,5a^2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{A{B}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{B^{\prime }C}=-a^2$, mỗi vectơ dài $a\sqrt{2}$, nên $\cos =-\frac{1}{2}$, góc bằng $120^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tổng ba vectơ bằng $(a;a;a)=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AC}=(a;a;0)$ còn $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{O{C}^{\prime }}-\overrightarrow{O{B}^{\prime }}=(a;a;a)-(0;a;a)=(a;0;0)$, hai vectơ không bằng nhau.