Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d:\frac{x-5}{-2}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z-1}{2}$, $d^{\prime }:\frac{x-2}{1}=\frac{y}{3}=\frac{z-1}{-1}$. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng $d$ và $d^{\prime }$.

Trạm kiểm soát không quân đang theo dõi hai máy bay chiến đấu Su-30 và MiG-31. Giả sử trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, đơn vị đo mỗi trục là $1\text{ km}$ và xem mặt phẳng $(Oxy)$ là mặt đất, tại cùng một thời điểm theo dõi ban đầu: máy bay chiến đấu Su-30 ở tọa độ $A(0;35;10)$, bay theo hướng vectơ ${\vec{v}}_1=(3;4;0)$ với tốc độ không đổi $900\text{ (km/h)}$ và máy bay chiến đấu MiG-31 ở tọa độ $B(31;10;11)$, bay theo hướng ${\vec{v}}_2=(5;12;0)$ với tốc độ không đổi $910\text{ (km/h)}$. Khu vực này có gió mạnh thổi với vận tốc $80\text{ (km/h)}$ theo hướng vectơ $\vec{u}=(-3;0;4)$, gió ảnh hưởng đến cả hai máy bay trong quá trình bay. Một khu vực không phận bị hạn chế bay đã được một quốc gia khác thiết lập, có dạng hình trụ với tâm đáy tại $C(178;430;0)$, bán kính đáy $7\text{ km}$, trục vuông góc với mặt đất và chiều cao $43\text{ km}$. Máy bay MiG-31 có nhiệm vụ bay vào khu vực không phận bị hạn chế để thăm dò. Tại thời điểm máy bay chiến đấu MiG-31 bay ra khỏi khu vực không phận bị hạn chế thì khoảng cách giữa hai máy bay chiến đấu là bao nhiêu km? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, đài kiểm soát không lưu sân bay có toạ độ $O(0;0;0)$, mỗi đơn vị trên trục ứng với $1\text{ km}$. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát $417\text{ km}$ sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí $A(-688;-185;8)$, chuyển động theo đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(91;75;0)$ và hướng về đài kiểm soát không lưu (Hình vẽ).

Tính khoảng cách ngắn nhất (km) giữa máy bay và đài kiểm soát không lưu.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1:\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-2}{-2}$, $d_2:\frac{x-2}{-1}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-4}{1}$ và mặt phẳng $(P):x-y+z-6=0$. Gọi $\Delta$ là đường thẳng song song với mặt phẳng $(P)$ và cắt $d_1,d_2$ lần lượt tại $A,B$ sao cho $AB=3\sqrt{6}$. Đường thẳng $\Delta$ có phương trình là

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là một tam giác vuông cân tại $B$. $AB=A{A}^{\prime }=2a$, $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $B{B}^{\prime }$ (tham khảo hình vẽ). Khoảng cách giữa hai đường thẳng $MN$ và $A{C}^{\prime }$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1:\{\begin{array}{l}x=2-t\\ y=3\\ z=-1+t\end{array}$ và $d_2:\{\begin{array}{l}x=3+t^{\prime }\\ y=2-t^{\prime }\\ z=-1\end{array}$ cắt nhau tại $A$. Đường thẳng $d_3$ đi qua $M(0;2;2)$ cắt $d_1$ và $d_2$ lần lượt tại $B$ và $C$ sao cho tam giác $ABC$ đều, diện tích tam giác $ABC$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng chéo nhau $d:\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-1-t\\ z=1\end{array}$ và $d^{\prime }:\frac{x-2}{-1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-3}{1}$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $d$ và $d^{\prime }$ là