Trạm kiểm soát không quân đang theo dõi hai máy bay chiến đấu Su-30 và MiG-31. Giả sử trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, đơn vị đo mỗi trục là $1\text{ km}$ và xem mặt phẳng $(Oxy)$ là mặt đất, tại cùng một thời điểm theo dõi ban đầu: máy bay chiến đấu Su-30 ở tọa độ $A(0;35;10)$, bay theo hướng vectơ ${\vec{v}}_1=(3;4;0)$ với tốc độ không đổi $900\text{ (km/h)}$ và máy bay chiến đấu MiG-31 ở tọa độ $B(31;10;11)$, bay theo hướng ${\vec{v}}_2=(5;12;0)$ với tốc độ không đổi $910\text{ (km/h)}$. Khu vực này có gió mạnh thổi với vận tốc $80\text{ (km/h)}$ theo hướng vectơ $\vec{u}=(-3;0;4)$, gió ảnh hưởng đến cả hai máy bay trong quá trình bay. Một khu vực không phận bị hạn chế bay đã được một quốc gia khác thiết lập, có dạng hình trụ với tâm đáy tại $C(178;430;0)$, bán kính đáy $7\text{ km}$, trục vuông góc với mặt đất và chiều cao $43\text{ km}$. Máy bay MiG-31 có nhiệm vụ bay vào khu vực không phận bị hạn chế để thăm dò. Tại thời điểm máy bay chiến đấu MiG-31 bay ra khỏi khu vực không phận bị hạn chế thì khoảng cách giữa hai máy bay chiến đấu là bao nhiêu km? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Trong không gian $Oxyz$, một viên đạn được bắn ra từ điểm $A(1;2;3)$, trong $3$ giây viên đạn đi với vận tốc không đổi, véctơ vận tốc (trên giây) là $\vec{v}=(2;1;5)$. Khi viên đạn trúng mục tiêu tại điểm $B(-5;a;b)$ thì giá trị của biểu thức $a+b$ bằng bao nhiêu?

Để xác định vị trí của máy bay khi đang bay, người ta gắn một hệ trục toạ độ $Oxyz$ với gốc toạ độ đặt tại một sân bay để xác định toạ độ của sân bay. Biết rằng cao độ của toạ độ máy bay chính là độ cao của máy bay đối với mặt đất. Đơn vị độ dài trên mỗi trục toạ độ là $100\text{ m}$. Một máy bay đang bay với quỹ đạo là một đường thẳng trong không gian với vận tốc bay không đổi. Tại một thời điểm nào đó, máy bay đang ở vị trí có toạ độ $(200;70;118)$. Sau $50$ giây, độ cao của máy bay so với mặt đất giảm $400\text{ m}$. Hỏi sau $25$ giây nữa, khoảng cách từ sân bay tới máy bay là bao nhiêu km, biết rằng trong suốt quá trình bay này, máy bay có đi qua điểm có toạ độ $(80;105;113)$?

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, đơn vị trên mỗi trục tương ứng với $100\text{ m}$. Một trạm kiểm soát ven biển có vùng nhận diện tín hiệu là một khối cầu bán kính $800\text{ m}$, tâm của trạm đặt tại $I(1;2;1,2)$. Vào lúc $8$ giờ $00$ phút sáng, một tàu đánh cá di chuyển thẳng đều từ vị trí $A(16;-13;0)$ đến vị trí $B(-14;17;0)$ và đến nơi lúc $8$ giờ $30$ phút sáng cùng ngày.

Người ta thường dùng cẩu trục tháp (như hình vẽ) để vận chuyển vật liệu xây dựng; thân tháp vuông góc với mặt đất, cần nâng vuông góc thân tháp dùng để làm điểm tựa nâng vật liệu, trên cần nâng có bộ phận gọi là xe con, có thể chạy dọc cần nâng nhằm di chuyển vật liệu. Ban đầu vật liệu ở mặt đất, cẩu trục dùng móc cẩu nâng vật liệu lên cao theo phương thẳng đứng và cao hơn $1\text{m}$ so với vị trí cần đặt, sau đó giữ nguyên độ cao và cẩu trục quay cần nâng một góc $\alpha \in (0^{\circ };180^{\circ })$ sao cho quỹ đạo tạo thành một cung tròn cho đến khi mặt phẳng $(P)$ chứa cần nâng và điểm cần đặt vuông góc với mặt đất (vật liệu và điểm cần đặt cùng nằm trên một nửa mặt phẳng $(P)$ so với thân tháp). Tiếp đến điều chỉnh xe con nhằm di chuyển và hạ vật liệu xuống $1\text{m}$ theo phương thẳng đứng đúng vị trí cần đặt. Giả sử rằng trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, thân tháp là trục $Oz$ và mặt đất là mặt phẳng $Oxy$ (đơn vị tính bằng mét); vị trí ban đầu của vật liệu là điểm $A(6;8;0)$ và vị trí cần đặt vật liệu là điểm $B(4;-3;15)$. Tính quãng đường vật liệu đã di chuyển (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Một radar phòng không được đặt tại vị trí gốc tọa độ $O(0;0;0)$ trong không gian $Oxyz$, mỗi đơn vị trên các trục tọa độ tương ứng với $1\text{ km}$. Radar này có khả năng phát hiện các mục tiêu bay trong bán kính $250\text{ km}$. Một máy bay không người lái (UAV) đang bay thẳng đều từ vị trí điểm $A(300;-400;100)$ đến điểm $B(-300;400;100)$. UAV bay với vận tốc không đổi $900\text{ km/h}$ và mang theo thiết bị gây nhiễu chủ động có tầm hiệu quả $50\text{ km}$ tính từ UAV. *(tham khảo từ Stimson's Introduction to Airborne Radar, 3rd Edition, George W. Stimson, Hugh D. Griffiths, Christopher Baker, Dave Adamy.)*

Một thiết bị rađa được đặt tại trung tâm của trạm kiểm soát không lưu có bán kính thăm dò $R=300\text{ km}$. Chọn hệ tọa độ $Oxyz$, có gốc $O$ trùng với vị trí của trung tâm kiểm soát không lưu được thiết lập với mặt đất là mặt phẳng $(Oxy)$, trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị tính bằng $1\text{ km}$. Một máy bay từ vị trí $A(200;-300;50)$ và đang bay về hướng trạm kiểm soát không lưu di chuyển theo đường thẳng đến vị trí $B(150;-200;30)$ với vận tốc bay không đổi $500\text{ km/h}$.