Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;1;-1)$ và $B(2;3;2)$. Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có tọa độ là

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AB=2,AD=3,A{A}^{\prime }=4$. Gọi $M$ là trung điểm của $B^{\prime }{C}^{\prime }$ và $G$ là trọng tâm tam giác $DC{D}^{\prime }$. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{AG}$

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(0;0;-1)$, $B(-1;1;0)$, $C(1;0;1)$.

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$. Gọi $M$, $N$, $P$ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh $A^{\prime }{B}^{\prime }$, $C{C}^{\prime }$, $AD$. Biết rằng $BM$ và $NP$ vuông góc với nhau.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A(2;-1;6)$, $B(1;1;2)$, $C(-3;-2;4)$, $D(6;-4;1)$. Điểm $M$ di động trên mặt phẳng $(Oyz)$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $T={\left(\frac{\overline{MA}}{\overline{MD}}\right)}^2-3{\left(\frac{\overline{MB}}{\overline{MD}}\right)}^2+{\left(\frac{\overline{MC}}{\overline{MD}}\right)}^2$ là

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật $AD=2AB=2\sqrt{2}$, đường thẳng $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SA=4$. Gọi $M,N$ là các điểm thỏa mãn $\overrightarrow{BM}=x\overrightarrow{BD}$, $\overrightarrow{SN}=y\overrightarrow{SC}$ và độ dài đoạn $MN$ nhỏ nhất. Tổng $2x+3y$ bằng

Trên phần mềm mô phỏng việc điều khiển drone giao hàng trong không gian $Oxyz$, một đội gồm ba drone giao hàng $A,B,C$ đang có tọa độ là $A(1;1;1)$, $B(5;7;9)$, $C(9;11;4)$. Khi đó góc $\widehat{BAC}$ (kết quả tính theo độ và làm tròn đến hàng đơn vị) bằng