Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(-2;-4;3)$ và $B(-2;2;9)$. Trung điểm của đoạn $AB$ có tọa độ là

Câu 2. Trong không gian $Oxyz$, cho hai véc tơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ có $|\vec{u}|=2\sqrt{5},|\vec{v}|=\sqrt{5},|\vec{u}-2\vec{v}|=2\sqrt{5}$. Tìm số đo góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $(\vec{u}-\vec{v})$.

Câu 8. Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, $M$ là trung điểm của $B{B}^{\prime }$. Đặt $\overrightarrow{CA}=\vec{a}$, $\overrightarrow{CB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{c}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 9. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành, biết $AB=SA=a$; $SA\perp (ABCD)$. Điểm $M$ trên cạnh $BD$, điểm $N$ trên cạnh $SC$ thỏa mãn $\frac{BM}{BD}=\frac{SN}{SC}$ và độ dài đoạn thẳng $MN$ nhỏ nhất. Khi đó, nếu $\overrightarrow{MN}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AD}+p\overrightarrow{AS}$ thì $T=m+n+2p$ bằng

Câu 10. Trong không gian $Oxyz$, cho $\overrightarrow{AO}=\vec{i}-2\vec{j}+3\vec{k}$, điểm $B(3;-4;1)$, $C(2;0;-1)$ và điểm $D(a;b;c)$ sao cho $B$ là trọng tâm tam giác $ACD$. Khi đó $P=a+b+c$ bằng

Câu 11. Trong không gian $Oxyz$, véctơ $\vec{u}$ vuông góc với hai véctơ $\vec{a}=(1;1;1)$ và $\vec{b}=(1;-1;3)$; độ dài véctơ $\vec{u}$ bằng $3$. Tìm tọa độ véctơ $\vec{u}$ biết véctơ $\vec{u}$ có hoành độ dương.

Câu 12. Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(2t;2t;0)$, $B(0;0;t)$ với $t>0$. Cho điểm $P$ di động thỏa mãn $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{AP}+\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{BP}+\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{BP}=3$. Biết rằng có giá trị $t=\frac{a}{b}$ với $a,b$ nguyên dương và $\frac{a}{b}$ tối giản sao cho $OP$ đạt giá trị lớn nhất là $3$. Tính giá trị $Q=2a+b$?