Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(3;2;-1)$ và mặt phẳng $(P):x+z-2=0$. Đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $(P)$ có phương trình là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x+y-z-1=0$ và đường thẳng $d:\frac{x+2}{2}=\frac{y-4}{-2}=\frac{z+1}{1}$. Gọi đường thẳng $d^{\prime }$ là hình chiếu vuông góc của $d$ trên mặt phẳng $(P)$, một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d^{\prime }$ là $\vec{u}=(7;a;b)$. Tính $a-2b$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là kilômét), một máy bay đang ở vị trí $A(3;-2;1)$ và bay theo đường thẳng để hạ cánh tại vị trí $B\left(4;\frac{13}{2};0\right)$ trên đường băng. Có một lớp mây được mô phỏng bởi mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua ba điểm $M(8;0;0);N(0;-8;0);P(0;0;0,8)$. Độ cao của máy bay khi máy bay xuyên qua đám mây để hạ cánh là bao nhiêu km (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-2}{1}$ và mặt phẳng $(P):x+y+z-3=0$. Tọa độ giao điểm của đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ là

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta :\frac{x+2}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z}{-1}$ và mặt phẳng $(P):x+2y-3z+4=0$. Gọi $d$ là đường thẳng nằm trong $(P)$, cắt và vuông góc với $\Delta$. Tọa độ giao điểm của $d$ và mặt phẳng $(Oxy)$ là

Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng đi qua điểm $A(1;2;3)$ và vuông góc với mặt phẳng $(\alpha ):4x+3y-5z+1=0$ có phương trình là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A(1;2;-3)$ và mặt phẳng $(P):2x+2y-z+9=0$. Đường thẳng $d$ đi qua $A$ và vuông góc với mặt phẳng $(Q):3x+4y-4z+5=0$ cắt mặt phẳng $(P)$ tại điểm $B$. Điểm $M$ nằm trong mặt phẳng $(P)$, nhìn đoạn $AB$ dưới góc vuông và độ dài $MB$ lớn nhất. Tính độ dài $MB$.