Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(1;3;1)$, mặt phẳng $(P):x-2y+z+2=0$ và đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=-1+2t\\ y=1-t\\ z=t\end{array}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Trung điểm OM là I(1/2; 3/2; 1/2), vectơ OM = (1;3;1) vuông góc với mặt phẳng trung trực, nên n = (-1;-3;-1) (cùng phương với OM) là một pháp tuyến → Đúng. b) Thay M(1;3;1) vào (P): 1 - 6 + 1 + 2 = -2 ≠ 0 → M không thuộc (P) → Sai. c) Phương trình tham số của d cho vectơ chỉ phương (2;-1;1) → Đúng. d) Vectơ chỉ phương của d là u = (2;-1;1), pháp tuyến (P) là n_P = (1;-2;1). Mặt phẳng (α) chứa d và vuông góc (P) có pháp tuyến n = u × n_P = (1;-1;-3) (kiểm tra: n·n_P = 1+2-3 = 0). (α) qua điểm (-1;1;0) trên d: (x+1) - (y-1) - 3z = 0 ⇔ x - y - 3z + 2 = 0. Khoảng cách từ M(1;3;1): |1 - 3 - 3 + 2|/√11 = 3/√11 ≠ 2/√11 → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trung điểm OM là I(1/2; 3/2; 1/2), OM = (1;3;1) nên n = (-1;-3;-1) cùng phương với OM là pháp tuyến của mặt phẳng trung trực.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay M(1;3;1): 1 - 6 + 1 + 2 = -2 ≠ 0 nên M không thuộc (P).
c) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số x = -1+2t, y = 1-t, z = t, vectơ chỉ phương là (2;-1;1) = u.
d) (AI giải đề cho tôi)
n = u × n_P = (1;-1;-3), (α): x - y - 3z + 2 = 0. d(M,(α)) = |1-3-3+2|/√11 = 3/√11 ≠ 2/√11.