Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1;2;2)$, $B(-3;0;2)$, mặt phẳng $(P):x-y+z-4=0$ và các đường thẳng ${\Delta }_1:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{-1}$, ${\Delta }_2:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z+2}{2}$, ${\Delta }_3:\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{1}$ và ${\Delta }_4:\{\begin{array}{l}x=-2+3t\\ y=2-t\\ z=-3\end{array}$.

a) Sai: Mặt cầu đường kính $AB$ có tâm là trung điểm của $AB$: $I(-1;1;2)$ và bán kính $R=\frac{AB}{2}=\sqrt{5}$. Phương trình đúng là $(x+1{)}^2+(y-1{)}^2+(z-2{)}^2=5$.
b) Đúng: Lấy $A_1$ đối xứng với $A$ qua $(P)\Rightarrow A_1(3;0;4)$ và $A_2$ đối xứng với $A$ qua $(Oxy)\Rightarrow A_2(1;2;-2)$. Chu vi tam giác $ADE$ bằng $AD+DE+EA=A_{1}D+DE+E{A}_2\ge A_1{A}_2=2\sqrt{11}$.
c) Sai: Mặt phẳng $(\beta )$ chứa ${\Delta }_1,{\Delta }_2$ có phương trình $y+z+2=0$. Giao điểm với ${\Delta }_3$ là $D(-2;-1;-1)$, với ${\Delta }_4$ là $E(1;1;-3)$. Suy ra $\overrightarrow{DE}=(3;2;-2)$. Vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_{\Delta }$ cùng phương với $(3;2;-2)\ne (3;2;2)$.
d) Đúng: Tam giác $MNP$ có trọng tâm $A(1;2;2)$ nên $M(3;0;0),N(0;6;0),P(0;0;6)$. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn là $\frac{x}{3}+\frac{y}{6}+\frac{z}{6}=1\iff 2x+y+z-6=0$.