Trong không gian Oxyz, cho các điểm và . Gọi
( S1 ) : ( x - 1) + ( y - 1) + ( z + 3) = 25
2 2 2

đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu với
( S2 ) : x + y + z - 2 x - 2 y - 14 = 0 . M , N là hai điểm thuộc ( P ) sao cho MN = 1 . Biết giá trị
2 2 2

nhỏ nhất của AM +BN có dạng a - b c ( a, b, c $\in$ $\infty$ và c là số nguyên tố). Tính a + b + c .

Chọn B
( x - 1)2 + ( y - 1)2 + ( z + 3)2 = 25
Ta có: ( P ) : $\iff$ ( P ) : z = 0 $\Rightarrow$ ( P )  ( Oxy ) .
 x + y + z - 2 x - 2 y - 14 = 0
2 2 2

Gọi C ( 0;0;0 ) và D ( 2;3;0 ) lần lượt là hình chiếu của A và B trên ( Oxy ) .
$\Rightarrow$ AC = 3, BD = 5, CD = 13
Với 4 điểm M , N , C , D trên một mặt phẳng ta luôn có được:
CM + MN + ND \ge CD $\iff$ CM + ND \ge 13 - 1 .
Ta có: AM +BN = AC 2 +CM 2 + BD 2 +DN 2
Áp dụng bất đẳng thức Minkowski:

( AC + BD ) + ( CM + DN ) \ge 64 + ( 13 - 1) = 78 - 2 13
2 2 2
AC 2 +CM 2 + BD 2 +DN 2 \ge
AC CM
Đẳng thức xảy ra khi M , N , C , D thẳng hàng và = .
BD DN
$\Rightarrow$ a + b + c = 78 + 2 + 13 = 93