Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(6;1;0),B(-1;3;2)$ và $C(1;-1;1)$.

Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Sai.
- a) Đúng. Ta có $\overrightarrow{AB}=(-7;2;2),\overrightarrow{AC}=(-5;-2;1)\Rightarrow [\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]=(6;-3;24)=3(2;-1;8)$. Mặt phẳng $(ABC)$ đi qua $A(6;1;0)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;-1;8)$ nên có phương trình $2(x-6)-(y-1)+8z=0\iff 2x-y+8z-11=0$.
- b) Sai. Gọi $G(2;1;1)$ là trọng tâm $△ABC$. Khi đó $|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|=3MG=3\sqrt{5}\iff MG=\sqrt{5}$. Hình chiếu của $G(2;1;1)$ trên $(Oyz)$ là $H(0;1;1)$ có $GH=2$, nên $M$ thuộc đường tròn tâm $H(0;1;1)$ bán kính $r=\sqrt{M{G}^2-G{H}^2}=1$ trong $(Oyz)$. Hình chiếu của $A(6;1;0)$ trên $(Oyz)$ là $K(0;1;0)$ có $AK=6$ và $KH=1$. Do đó $\max KM=KH+r=2\Rightarrow \max AM=\sqrt{A{K}^2+(\max KM{)}^2}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}\ne \sqrt{37}$.
- c) Sai. Đường thẳng $d$ đi qua $C(1;-1;1)$ và nhận $\vec{n}=(2;-1;8)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-1}{8}$.
- d) Sai. Trung điểm của $BC$ là $I\left(0;1;\frac{3}{2}\right)$ và $BC=\sqrt{2^2+(-4{)}^2+(-1{)}^2}=\sqrt{21}$, nên bán kính mặt cầu đường kính $BC$ là $R=\frac{\sqrt{21}}{2}\Rightarrow R^2=\frac{21}{4}\ne 21$.