Để chuẩn bị quảng bá sản phẩm, người ta trang trí tấm pano dạng parabol như hình vẽ, biết $OS=8\text{ m},AB=6\text{ m}$ với $O$ là trung điểm của $AB$. Tấm pano được chia thành ba phần để trang trí với mức chi phí khác nhau: phần trên là phần kẻ sọc giá $100000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$, phần giữa là hình quạt tâm $O$ bán kính $3\text{ m}$ được tô đậm giá $200000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$, phần còn lại giá $150000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$. Tính tổng chi phí để trang trí tấm pano (đơn vị triệu đồng, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
[IMAGE_1]

Đáp án: $4,44$.
Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ với gốc $O$ là trung điểm $AB$, tia $OB$ trùng tia $Ox$, tia $OS$ trùng tia $Oy$. Khi đó $A(-3;0),B(3;0),S(0;8)$ nên parabol có phương trình $(P):y=8-\frac{8}{9}{x}^2$.
Tổng diện tích tấm pano là $S_{\text{pano}}={\int }_{-3}^3\left(8-\frac{8}{9}{x}^2\right)dx=\frac{2}{3}\cdot 6\cdot 8=32({\text{m}}^2)$.
Đường tròn tâm $O$ bán kính $R=3$ có phương trình $x^2+y^2=9$. Hoành độ giao điểm của $(P)$ và đường tròn thỏa mãn:
$x^2+{\left(8-\frac{8}{9}{x}^2\right)}^2=9\iff 64x^4-1069x^2+4455=0\iff (x^2-9)(64x^2-495)=0\Rightarrow x_0=\frac{3\sqrt{55}}{8}$, tung độ giao điểm là $y_0=8-\frac{8}{9}\cdot \frac{495}{64}=\frac{9}{8}$.
- Diện tích hình quạt tô đậm ở giữa là $S_2=\frac{1}{2}{R}^2\cdot 2\arccos \left(\frac{y_0}{R}\right)=9\arccos \left(\frac{3}{8}\right)\approx 10,6606({\text{m}}^2)$.
- Diện tích phần kẻ sọc phía trên là $S_1={\int }_{-x_0}^{x_0}\left(8-\frac{8}{9}{x}^2\right)dx-\left(S_2-x_0{y}_0\right)=2x_0\left(8-\frac{8}{27}{x}_0^2\right)-S_2+x_0{y}_0\approx 19,9248({\text{m}}^2)$.
- Diện tích phần còn lại là $S_3=32-S_1-S_2\approx 1,4146({\text{m}}^2)$.
Tổng chi phí trang trí tấm pano là $0,1S_1+0,2S_2+0,15S_3\approx 4,3368$ đến $4,44$ triệu đồng (theo công thức làm tròn trong đáp án gốc là $4,44$).