Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(5;-3;2)$, $B(2;1;-2)$. Gọi $M$, $N$ là hai điểm phân biệt thay đổi thoả mãn $BM=BN=2$ và $A$, $M$, $N$ thẳng hàng. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=2AM+5AN$ có dạng $7\sqrt{m}-n$ với $m;n$ là số tự nhiên. Tính giá trị $5m+n$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $AB=\sqrt{(5-2{)}^2+(-3-1{)}^2+(2+2{)}^2}=\sqrt{41}>2$ nên $A$ nằm ngoài mặt cầu $(B;2)$. Vì $A,M,N$ thẳng hàng và $M,N$ phân biệt cùng thuộc mặt cầu $(B;2)$, đường thẳng qua $A$ cắt mặt cầu tại đúng hai điểm $M,N$. Gọi $H$ là hình chiếu của $B$ trên đường thẳng, đặt $AH=u=\sqrt{41-d^2}$, $HM=HN=s=\sqrt{4-d^2}$ với $d$ là khoảng cách từ $B$ đến đường thẳng. Khi đó hai khoảng cách từ $A$ đến $M,N$ là $u-s$ và $u+s$. Vì vai trò $M,N$ có thể hoán đổi, $S=2AM+5AN$ nhỏ nhất khi gán $AM=u+s,AN=u-s$: $S=7u-3s=7\sqrt{41-d^2}-3\sqrt{4-d^2}$. Đạo hàm theo $t=d^2$: $f^{\prime }(t)=\frac{3}{2\sqrt{4-t}}-\frac{7}{2\sqrt{41-t}}>0$ với mọi $t\in [0,4)$ (vì $9(41-t)>49(4-t)$), nên $f$ tăng, đạt giá trị nhỏ nhất tại $t=0$ tức đường thẳng là $AB$: $S_{\min }=7\sqrt{41}-6$ (khi $AM=\sqrt{41}+2,AN=\sqrt{41}-2$). Vậy $m=41,n=6$, $5m+n=205+6=211$.