Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(2;1;1),B(-1;2;1),C(-2;3;5)$. Hãy tính tích vô hướng $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$.

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $M(2;1;2)$, $N(1;-2;1)$, $P(2;-3;2)$. Hãy tính tích vô hướng $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{MP}$.

Trong không gian có hai con chim bói cá đậu trên hai cành cây khác nhau để quan sát tìm mồi và hướng về một con cá trên mặt nước. Biết chim bói cá thứ nhất đứng yên ở vị trí $M$, chim bói cá thứ hai đứng yên ở vị trí $N$ và con cá nằm yên trên mặt nước phẳng lặng ở vị trí $P$ (tham khảo hình minh họa bên dưới). Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho đơn vị trên mỗi trục là mét và biết $M(4;2;2),N(-4;3;3),P(a;b;c)$. Giả sử mặt nước trùng với mặt phẳng $(Oxy)$, góc $\widehat{MPN}=90^{\circ }$ và $a=2b$. Hãy tìm tọa độ điểm $P$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{u}=(3;0;1)$ và $\vec{v}=(1;-1;-2)$. Khi đó, tính $\vec{u}.\vec{v}$ có kết quả bằng:

Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ vuông tại C với điểm $A(1;2;0)$, $B(2;-1;1)$ và điểm C có hoành độ dương trên trục $Ox$. Diện tích tam giác $ABC$ bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AB=2,AD=3,A{A}^{\prime }=4$. Gọi $M$ là trung điểm của $B^{\prime }{C}^{\prime }$ và $G$ là trọng tâm tam giác $DC{D}^{\prime }$. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{AG}$

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(0;0;-1)$, $B(-1;1;0)$, $C(1;0;1)$.