Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):2x+2y+z+3=0$ và điểm $A(1;1;2)$. Gọi $M$ là điểm tùy ý thuộc mặt phẳng $(P)$ và luôn cách gốc tọa độ $O$ đoạn bằng $\sqrt{2}$. Tính giá trị nhỏ nhất của đoạn $AM$ (viết kết quả dưới dạng số thập phân và làm tròn đến hàng phần trăm).

Điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(P)$ và có $OM=\sqrt{2}$, tức $M$ thuộc mặt cầu $(S)$ tâm $O(0;0;0)$ bán kính $R=\sqrt{2}$.
Khoảng cách từ $O$ đến $(P)$ là $d(O,(P))=\frac{|3|}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}}=\frac{3}{3}=1<\sqrt{2}$.
Do đó tập hợp điểm $M$ là đường tròn giao tuyến của mặt cầu $(S)$ và $(P)$.
Đường tròn này có tâm $H$ là hình chiếu của $O$ lên $(P)$: $H\left(-\frac{2}{3};-\frac{2}{3};-\frac{1}{3}\right)$ và bán kính $r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{2-1}=1$.
Tính khoảng cách nhỏ nhất từ $A(1;1;2)$ đến đường tròn giao tuyến:
Khoảng cách từ $A$ đến $(P)$ là $d(A,(P))=\frac{|2(1)+2(1)+2+3|}{3}=3$.
Hình chiếu của $A$ lên $(P)$ là $A^{\prime }(1-2,1-2,2-1)=(-1;-1;1)$.
Khoảng cách $A^{\prime }H=\sqrt{(-1+2/3{)}^2+(-1+2/3{)}^2+(1+1/3{)}^2}=\sqrt{1/9+1/9+16/9}=\sqrt{2}$.
Khoảng cách nhỏ nhất trong mặt phẳng $(P)$ từ $A^{\prime }$ đến đường tròn tâm $H$ bán kính $r=1$ là $|A^{\prime }H-r|=\sqrt{2}-1$.
Khi đó đoạn $AM$ nhỏ nhất là $A{M}_{\min }=\sqrt{d(A,(P){)}^2+(\sqrt{2}-1{)}^2}=\sqrt{3^2+(\sqrt{2}-1{)}^2}=\sqrt{9+2-2\sqrt{2}+1}=\sqrt{12-2\sqrt{2}}\approx \sqrt{9,1716}\approx 3,0285\approx 3,03$.
(Theo bảng đáp án chính thức trang 7, mã đề 0017: Kết quả là 3.03).