Trong đợt sơ kết học kì I, thầy Hòa có 40 quyển vở giống nhau muốn tặng cho 5 học sinh là thành viên trong đội tuyển Toán sao cho học sinh nào cũng được tặng vở. Tính xác suất để không có học sinh nào nhận được số quyển vở là một số chia hết cho 3.

Cho $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\in \mathbb{N}$, thỏa mãn $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=k$ (1)

Ta có kết quả sau:
+ Số bộ $(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)$ thỏa mãn (1) là $C_{k+4}^4$ (2)
+ Với $k\ge 5$ và $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\ge 1$, số bộ $(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)$ thỏa mãn (1) là $C_{k-1}^4$ (3)

Gọi số vở 5 học sinh nhận được lần lượt là $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$, với $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\in \mathbb{N}$ và $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=40$, để học sinh nào cũng được tặng vở thì $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\ge 1$.

Theo (3) xác định được số phần tử của không gian mẫu là $|\Omega |=C_{39}^4$. (0,25 điểm)

Vì $x_i/⋮3$ nên viết lại $x_i=3q_i+r_i$ với $q_i\in \mathbb{N},r_i\in \{1;2\}$, $i=1,2,3,4,5$.

Đặt $Q={\sum }_{i=1}^5{q}_i$ và $R={\sum }_{i=1}^5{r}_i$, đưa về $3Q+R=40$, dẫn đến $R-1⋮3$.

Lại có $r_i\in \{1,2\},i=1,2,3,4,5$ nên $5\le R\le 10$. Từ đó tìm được hai trường hợp sau: (0,25 điểm)

1) $R=7$, trong các số $r_1,r_2,r_3,r_4,r_5$ có ba số bằng 1 và hai số bằng 2, có $C_5^3$ bộ $(r_1,r_2,r_3,r_4,r_5)$. Tìm được $Q=11$, theo (2) có $C_{15}^4$ bộ $(q_1,q_2,q_3,q_4,q_5)$.

Suy ra có $C_5^3.C_{15}^4$ bộ $(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)$. (0,25 điểm)

2) $R=10$, thì $r_1=r_2=r_3=r_4=r_5=2$ có 1 bộ $(r_1,r_2,r_3,r_4,r_5)$. Tìm được $Q=10$, theo (2) có $C_{14}^4$ bộ $(q_1,q_2,q_3,q_4,q_5)$. Suy ra có $C_{14}^4$ bộ $(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)$.

Vậy số bộ $(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)$ cần tìm là $C_5^3{C}_{15}^4+C_{14}^4$.

Xác suất cần tìm bằng $P=\frac{C_{14}^4+C_5^3{C}_{15}^4}{C_{39}^4}=\frac{1127}{6327}$. (0,25 điểm)

CHÚ Ý: Hướng dẫn chấm chỉ là lời giải sơ lược của một cách. Học sinh có cách giải khác đáp án, cho kết quả đúng thì giám khảo vẫn cho điểm từng phần tương ứng như hướng dẫn chấm.