Trên đoạn đường hành trình giữa hai điểm A và B có một ngọn núi, chính vì vậy đã phải đi vòng theo đường gấp khúc $ACDB$ như hình vẽ. Biết rằng $AC=400m$, $CD=500m$, $DB=400m$ và $\widehat{ACD}=138^{\circ }$, $\widehat{CDB}=122^{\circ }$. Hãy xác định độ dài đoạn đường AB theo đơn vị mét (làm tròn đến kết quả đến hàng đơn vị)?

Đứng ở vị trí $A$ trên bờ biển, bạn Bình đo được góc nghiêng so với bờ biển tới một vị trí $C$ trên đảo là $45^{\circ }$. Sau đó di chuyển dọc bờ biển đến vị trí $B$ cách $A$ một khoảng $105m$ và đo được góc nghiêng so với bờ biển tới vị trí $C$ đã chọn là $35^{\circ }$. Tính khoảng cách từ vị trí $C$ trên đảo tới bờ biển theo đơn vị mét (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Từ một đỉnh tháp chiều cao $CD=90m$, người ta nhìn hai điểm $A$ và $B$ trên mặt đất dưới các góc nhìn so với phương thẳng đứng lần lượt là $75^0$ và $30^0$. Ba điểm $A,B,D$ thẳng hàng. Tính khoảng cách $AB$? (Làm tròn đến hàng đơn vị).

Để đo chiều cao của một ngọn núi người ta đứng ở các vị trí $A,B$ cách nhau $50m$ (như hình vẽ) và đo được các góc tại $A$ và $B$ lần lượt là $34^{\circ }$ và $38^{\circ }$.



Chiều cao của ngọn núi được làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất bằng

Một chuyến bay từ Thành phố Hồ Chí Minh đến Đà Nẵng với quãng đường bay thẳng là 605 km. Tuy nhiên vì lí do thời tiết, phi công điều khiển chuyến bay đã chọn hướng bay lệch so với hướng bay thẳng là $10^0$ (tham khảo hình vẽ minh họa ở dưới). Nếu máy bay duy trì tốc độ trung bình là 820 km/h và sau 15 phút, khi thời tiết ổn định thì phi công nên điều khiển máy bay bay thẳng chéo lên một góc $\alpha$ bằng bao nhiêu độ để đến được Đà Nẵng như đã dự tính. (Độ dài các quãng đường làm tròn đến hàng phần chục, các góc làm tròn đến hàng đơn vị)

Cho hình vuông $ABCD$ có độ dài cạnh $10m$. Cho điểm $M$ thuộc cạnh $BC$, điểm $N$ thuộc cạnh $CD$ sao cho $BM=DN=x(m)$ và tam giác $AMN$ là tam giác đều. Diện tích của tam giác $AMN$ là bao nhiêu mét vuông? (kết quả làm tròn tới hàng phần chục).

Dọc theo tuyến đường quốc lộ từ huyện $C$ đến thành phố $A$, người ta cần xác định một trạm trung chuyển hàng hóa $G$ và xây dựng một con đường từ trạm $G$ đến huyện $B$ sao cho khoảng cách từ trạm $G$ đến hai huyện $B$ và $C$ là như nhau. Biết rằng khoảng cách $AC=100km$, $AB=60km$. Tính khoảng cách từ trạm trung chuyển $G$ đến thành phố $A$.