Cho mệnh đề chứa biến "$x+y=2$ với x, y là các số thực". Xét tính Đúng, Sai của các mệnh đề sau:
a) $P$ "$\forall x\in R,\forall y\in R:x+y=2$"
b) $Q$ "$\exists x\in R,\exists y\in R:x+y=2$"
c) $R$ "$\forall x\in R,\exists y\in R:x+y=2$"
d) $H$ "$\exists x\in R,\forall y\in R:x+y=2$"

(AI giải đề cho tôi)
Xét mệnh đề $x+y=2$ với $x,y\in \mathbb{R}$. a) $P$: $\forall x,\forall y:x+y=2$ — Sai, vì ví dụ $x=0,y=0$ thì $0+0=0\ne 2$. b) $Q$: $\exists x,\exists y:x+y=2$ — Đúng, ví dụ $x=1,y=1$. c) $R$: $\forall x,\exists y:x+y=2$ — Đúng, với mỗi $x$ chọn $y=2-x$. d) $H$: $\exists x,\forall y:x+y=2$ — Sai, vì nếu tồn tại $x$ thì với $y_1\ne y_2$ ta có $x+y_1\ne x+y_2$, không thể cùng bằng 2. Kết quả: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai, khớp đáp án mã 1012 (SĐĐS).
a) (AI giải đề cho tôi)
Phản ví dụ $x=0,y=0$: $0+0=0\ne 2$, nên $P$ Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chọn $x=1,y=1$ thì $x+y=2$, nên $Q$ Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với mỗi $x\in \mathbb{R}$, chọn $y=2-x$ thì $x+y=2$, nên $R$ Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nếu $x+y=2$ với mọi $y$ thì với $y=0$ và $y=1$ ta được $x=2$ và $x=1$, mâu thuẫn; nên $H$ Sai.