Tổng các nghiệm thuộc khoảng $(0;3\pi )$ của phương trình $\sin 2x-2{\cos }^{2}x+2\sin x=2\cos x+4$ là

Phương trình tương đương với: $2\sin x\cos x-2\cos x-2(1-2{\sin }^{2}x)+2\sin x-4=0⟺2\cos x(\sin x-1)+4{\sin }^{2}x+2\sin x-6=0⟺2\cos x(\sin x-1)+2(\sin x-1)(2\sin x+3)=0⟺2(\sin x-1)(\cos x+2\sin x+3)=0$. Vì $|"+"\cos x+2\sin x|\le \sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}<3$ nên $\cos x+2\sin x+3>0,\forall x$. Do đó phương trình tương đương $\sin x-1=0⟺\sin x=1⟺x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Các nghiệm thuộc khoảng $(0;3\pi )$ là $x_1=\frac{\pi }{2}$ (với $k=0$) và $x_2=\frac{5\pi }{2}$ (với $k=1$). Tổng các nghiệm là $\frac{\pi }{2}+\frac{5\pi }{2}=3\pi$.