Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=x^4-\frac{x^3}{3}+2\sqrt{x}-3$;

b) $y=\frac{x^2+x}{x-2}$;

c) $y=\sqrt{3x^2-2x+1}$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 1 (trang 24) yêu cầu tính đạo hàm của ba hàm số. AI đã giải và kết quả được kiểm tra độc lập, tất cả đều đúng.

a) $y=x^4-\frac{x^3}{3}+2\sqrt{x}-3$, với $x>0$.
Áp dụng $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$ và $(\sqrt{x}{)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$:
$$y^{\prime }=4x^3-x^2+2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=4x^3-x^2+\frac{1}{\sqrt{x}}.$$

b) $y=\frac{x^2+x}{x-2}$, với $x\ne 2$.
Với $u=x^2+x$, $v=x-2$: $u^{\prime }=2x+1$, $v^{\prime }=1$.
$$y^{\prime }=\frac{(2x+1)(x-2)-(x^2+x)}{(x-2{)}^2}=\frac{2x^2-3x-2-x^2-x}{(x-2{)}^2}=\frac{x^2-4x-2}{(x-2{)}^2}.$$

c) $y=\sqrt{3x^2-2x+1}$. Tam thức $3x^2-2x+1$ luôn dương vì $\Delta =4-12=-8<0$ và hệ số $a>0$, nên hàm số xác định trên $\mathbb{R}$.
Với $u=3x^2-2x+1$, $u^{\prime }=6x-2$:
$$y^{\prime }=\frac{6x-2}{2\sqrt{3x^2-2x+1}}=\frac{3x-1}{\sqrt{3x^2-2x+1}}.$$

Kiểm tra lại: a) đạo hàm từng số hạng chính xác; b) khai triển $(2x+1)(x-2)=2x^2-3x-2$, trừ $x^2+x$ được $x^2-4x-2$, đúng; c) rút gọn tử số 2, đúng. Kết quả khớp với lời giải AI trong nguồn.