Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=\cos \sqrt{2x+3}$;

b) $y={\sin }^{2}5x$;

c) $y={\tan }^2\frac{x}{3}$;

d) $y=\frac{1}{4}\cot x^2$.

Đạo hàm của hàm số $y=\sin 2x+x$ trên tập số thực là

Đạo hàm của hàm số $y=\cos 3x+2x$ là

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=x\cos x$ b) $y={\sin }^3(2x+1)$ c) $y=\sin \sqrt{2+x^2}$ d) $y=\sqrt{\sin x+2x}$

e) $y=\sin \left({\cos }^{2}x\right)$ f) $y=\frac{1}{{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x}$ g) $y=\sin x.\cos 2x$ h) $y={\left({\cos }^{4}x-{\sin }^{4}x\right)}^5$

Cho hàm số $y=\cot 2x$. Chứng minh rằng: $y^{\prime }+2y^2+2=0$

Cho hàm số $f(x)=\sqrt{x^2+3}$. Tính giá trị của biểu thức $S=f(1)+4f^{\prime }(1)$.

Tại phòng thí nghiệm Sinh học, nhóm nghiên cứu nuôi cấy không liên tục Vi khuẩn $E.Coli$ ở điều kiện tối ưu. Sự sinh trưởng của quần thể vi khuẩn bao gồm 4 pha cơ bản:
- Pha tiềm phát (pha lag): Vi khuẩn dần thích nghi với môi trường, tổng hợp vật chất chuẩn bị cho sự phân chia.
- Pha luỹ thừa (pha log): Phân chia mạnh mẽ theo tiềm năng, số lượng tế bào tăng theo luỹ thừa và đạt đến cực đại ở cuối pha.
- Pha cân bằng: Lượng tế bào sinh ra bằng lượng tế bào chết đi.
- Pha suy vong: Số lượng tế bào trong quần thể ngày càng giảm do chất dinh dưỡng cạn kiệt, chất độc hại tích luỹ ngày càng nhiều.
Giả sử trong giai đoạn “Pha luỹ thừa (pha log)”, số lượng của một quần thể vi khuẩn $E.Coli$ được xác định bởi công thức $P(t)=100e^{0,1t}$, trong đó thời gian $t$ được tính bằng phút. Tại thời điểm $t=20$, tốc độ tăng trưởng tức thời của quần thể vi khuẩn $E.Coli$ là bao nhiêu vi khuẩn/phút? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).