Bài 6. Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số: a) $y=\frac{-2x^2+3x}{1-x}$; b) $y=\sqrt{x^2+2x+3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 6. Tính đạo hàm cấp hai.

a) $y=\frac{-2x^2+3x}{1-x}$, xác định với $x\ne 1$.

Ta biến đổi: $-2x^2+3x=(1-x)(2x-1)+1$, nên
$$y=\frac{(1-x)(2x-1)+1}{1-x}=2x-1+\frac{1}{1-x}.$$

Đạo hàm cấp nhất:
$$y^{\prime }=2+\frac{(1-x{)}^{\prime }}{(1-x{)}^2}=2+\frac{1}{(1-x{)}^2}$$
(vì ${\left(\frac{1}{1-x}\right)}^{\prime }=\frac{-(-1)}{(1-x{)}^2}=\frac{1}{(1-x{)}^2}$).

Đạo hàm cấp hai:
$$y^{\prime \prime }={\left((1-x{)}^{-2}\right)}^{\prime }=-2(1-x{)}^{-3}\cdot (1-x{)}^{\prime }=\frac{2}{(1-x{)}^3}.$$

Vậy $y^{\prime \prime }=\frac{2}{(1-x{)}^3}$ với $x\ne 1$.

b) $y=\sqrt{x^2+2x+3}$, xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ vì $x^2+2x+3=(x+1{)}^2+2>0$.

Đạo hàm cấp nhất:
$$y^{\prime }=\frac{2x+2}{2\sqrt{x^2+2x+3}}=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+3}}=\frac{x+1}{\sqrt{u}},u=x^2+2x+3.$$

Đạo hàm cấp hai (dùng quy tắc thương với $u^{\prime }=2x+2=2(x+1)$):
$$y^{\prime \prime }=\frac{\sqrt{u}-(x+1)\cdot \frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}}{u}=\frac{u-(x+1{)}^2}{u\sqrt{u}}=\frac{(x^2+2x+3)-(x+1{)}^2}{(x^2+2x+3{)}^{3/2}}.$$

Tính tử số: $x^2+2x+3-(x^2+2x+1)=2$.

Vậy $y^{\prime \prime }=\frac{2}{{\left(x^2+2x+3\right)}^{3/2}}$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.

Kiểm tra lại: với a) thử $x=0$: $y=0$, $y^{\prime }=3$, $y^{\prime \prime }=2$ — đúng theo công thức $2/(1-0{)}^3=2$. Với b) thử $x=0$: $y^{\prime }=1/\sqrt{3}$, $y^{\prime \prime }=2/(3\sqrt{3})$ — nhất quán với công thức.